Wedderburn"s Little Stelling

Niet te verwarren met Artin-Wedderburn stelling.

In de wiskunde, meer bepaald in de algebra, Wedderburn de stelling stelt dat elke eindig veld is een commutatieve veld. De auteur, Joseph Wedderburn, toonde in 1905.

Verklaring van de stelling

Wedderburn's Little stelling. Elke eindige veld commutatief.

Het is ook gemakkelijk te zien dat elke ring zonder nuldeler en finish is een lichaam, aangezien vermenigvuldigen met een nul element dat injectief door integriteit, ook surjectief dan de eindige zaak. Aangezien de stelling garandeert de afwezigheid van een niet-commutatieve eindig concluderen we dat een eindige ring zonder nuldeler kan ook als een commutatieve veld.

Opmerking over de terminologie: verschillende bronnen, waaronder onder invloed van Engels gebied waar het woord verwijst naar een commutatieve veld, de Commutativiteit van vermenigvuldiging te verhogen in de definitie van een eindig veld. De stelling is zinloos als goed geïnterpreteerd de term "eindige" daarin. De verklaring moet worden gelezen in er waaronder "body" in de meest gebruikte betekenis in Frankrijk, waarin niet-commutatieve vermenigvuldiging niet uitsluit. Met andere woorden, de stelling aan dat lichaam niet meer kan worden gelaten.

Geschiedenis

Leonard Eugene Dickson, een professor aan de Universiteit van Chicago, gepubliceerd in 1901 de eerste moderne presentatie van de eindige commutatieve veld theorie. Oswald Veblen werken op dat moment op de geometrieën op eindige structuren in dezelfde universiteit. Joseph Wedderburn trad in 1904-1905 en werkt nauw samen met hen.

In 1905 Wedderburn en Dickson elk publiceert een artikel waarin wordt aangetoond dat elk eindig veld commutatief. Dicskon wijst het resultaat naar Wedderburn. Inderdaad, Wedderburn meegedeeld bewijs van het resultaat in Dickson, en deze, terwijl hij twijfelen aan de waarheid, eindigt het ontdekken van een ander bewijs dat op zijn beurt communiceert Wedderburn. Laatstgenoemde is geïnspireerd door twee andere manifestaties die hij zamen met het eerste, in zijn artikel. Het was pas later dat de eerste demonstratie van Wedderburn verscheen als onvolledig.

Vele andere manifestaties van deze stelling, gebruikt heel andere wiskundige technieken zijn voorgesteld gebleven. Het eerste bewijs van Wedderburn heeft zichzelf gecorrigeerd op vele manieren.

Demonstratie

De hier gepresenteerde bewijs gevolg Ernst Witt in 1931. Het kan worden opgedeeld in vier fasen.

K is een vectorruimte over het centrum

  • K is een eindig veld. Z zijn het centrum en q = | Z | Kardinaal Z.
  • K-Z is een vector ruimte van eindige dimensie d = dimZ. De kardinaal vervolgens K | K | = Q. Dit is om te bewijzen dat het commutatief K K = Z zeggen dat d = 1 demonstreren.
  • Voor tussenliggende lichaam Z ⊂ K ⊂ K, de dimensie van K 'op Z verdeelt d, omdat controles gemakkelijk door het nemen van bases van d =' s ', waar' s 'staat voor de grootte van de K als een vectorruimte via lichaam K '.

Zij X een element van K en Zx alle schakelelementen van K met x. Zx is een deelgebied van K met Z. Volgens het vorige punt, dx = dimZ verdeelt d.

Formula klassen om de werking van K zichzelf door conjugatie.

K duiden de multiplicatieve groep van K, bestaande uit inverteerbare elementen van K. K handelt zich door conjugatie aan.

  • De kardinaal van de baan van een element van K wat, herinneren,. Vervoeging is triviaal op Z; Z elementen tot een klasse element.
  • Als is een suite van vertegenwoordigers van niet-point banen k, de formule van de klassen:

ofwel:

Opmerkend

We hebben zojuist gezien dat F = q - 1.

Φd verdeelt F tot Z

De theorie van cyclotomische veeltermen gebruikelijke toont de volgende gelijkheid als Φe betekent dat de index e cyclotomische polynoom:

In het bijzonder verdeelt Φd X - 1 en voor een strikte deler van d, Φd verdeeld / as

C een polynoom met integer coëfficiënten, het product van Φe voor alle e strikt verdelen maar niet te splitsen.

Daarom Φd verdeelt F in ℤ. Inderdaad, voor wie de baan is niet punctueel, is een strikte deler van d zodat de bovenstaande redenering geldt en de conclusie volgt, voor de definitie van F.

Geometrie primitieve roots-th

  • Het heeft 0 & lt; q - 1 = F = ΦdQ, waarbij Q een geheel getal noodzakelijkerwijze niet nul, dan | V | ten minste 1, waardoor
  • Voor elk getal n ≥ 1 ,, waarbij ui beschrijft alle primitieve n-de wortels van eenheid. Zoals geïllustreerd in de figuur tegen, als u een primitieve n-de wortels van eenheid met n & gt; 1, is er | q - u | & Gt; q - 1, dus
  • De vorige twee ongelijkheden leiden d = 1; en K is commutatief. De stelling is bewezen.

Cohomologische interpretatie

De stelling in wezen gelijkwaardig is aan het feit dat de Brauer groep van elke eindig lichaam K triviaal. Deze herformulering maakt een snellere volgende bewijs: als het quotiënt nul Herbrand door eindigheid, Br valt samen met H = H, die zelf nul Stelling 90 Hilbert.