Stelling Tykhonov

De Tychonoff stelling is een topologisch theorema zegt dat een product van compacte topologische ruimten is compact in de zin van de producttopologie. Het werd gepubliceerd in 1930 door de Russische wiskundige Andrei Nikolajevitsj Tikhonov. Het heeft verschillende toepassingen in de algebraïsche topologie en de differentiële, vooral in de functionele analyse voor het bewijs van Banach-Alaoglu-Bourbaki stelling en de Stone-Čech compactificatie.

Als dit theorema niet intuïtie schokken bij een eindprodukt de geldigheid bij elk product is verbazingwekkend en toont een niet-constructieve wordt gebruikt bij de keuzeaxioma. Bij een telbare product compacte metrische ruimten, een zwakke vorm van het axioma genoeg.

Demonstratie in het geval van een telbare product metrische

In het geval van telbare product van metrische, de belangrijkste idee is om dit product een metrische ruimte ook de inrichting van de juiste afstand, die vervolgens kunt u de stelling van Bolzano-Weierstrass en het feit dat het gebruik maken sequentiële compactheid is stabiel telbare producten.

Demonstratie in het algemene geval

Een compact is als het maar wordt gescheiden en het is bijna compact. Zoals elke afgescheiden product wordt gescheiden van het product topologie, het blijft om te bewijzen dat een quasi-compact product is quasi-compact en, met behulp van het axioma van keuze of, equivalent, Zorn's lemma.

Door Alexander's stelling op prébases

I∈I zijn een familie van quasi-compacte ruimtes. Een pre-basic topologie product X is de set van "i-cilinders" toen ik reist ik, door te bellen "i-cilinder": een voorafbeelding van Xi geopend door de canonieke projectie van X op Xi. Om te bewijzen dat X quasi-compact, volstaat volgens een stelling van Alexander, blijkt dat voor een deel van de prebasis- C als C bevat geen eindige bedekking van X dan C omvat niet X. We kunnen partitie C stelt Ci i-cilinders. Voor alle i, geen eindige deelverzameling van Ci X omvat, dat wil zeggen dat het uitsteeksel elke eindige die Xi bevat. Door quasi-compactheid, Xi xi bevat daarom een ​​lid die niet worden gedekt door deze projectie. Het gezin is dan een i∈I X element ontdekt door C.

Door de filters theorie

We kunnen een elegante bewijs van deze stelling met behulp van de theorie van de filters te geven.

Door de accommodatie Borel-Lebesgue voor gesloten

U kunt gebruik maken van een ruimte X is quasi-compact dan en slechts dan als voor elke gesloten Gezin X met eindige kruisingen niet leeg zijn, is niet leeg.

Demonstratie

Zijn een familie van quasi-compact, hun product, en gesloten familie wiens eindige kruising van de elementen is niet leeg. Opgemerkt wordt het uitsteeksel aan.

Beschouw de set met gezinnen waarvan de snijpunten van eindige elementen zijn niet leeg. Het is een set besteld door opname en inductieve. Het voldoet daarom de aannames van Zorn's lemma en heeft dus een maximaal element.

Is bevestigd. Eindig kruising elementen niet leeg is, is ook het geval van de eindige kruising van projecties van elementen, waardoor de hechting van dergelijke elementen; Familie en controles aannames eigendom Borel-Lebesgue in compacte, dus is een niet-lege verzameling.

Een deel van het produkt van alle niet-lege sets zullen dan overwegen en laten zien dat het in de kruising van de elementen, die dan niet leeg, hetgeen de proef te voltooien.

Eerste merken we dat:

Inderdaad, een eindig kruising elementen. Dan bevat de set en de eindige kruispunten zijn onderdeel van die zijn niet zo leeg, dus, dwz.

Door een soortgelijk argument, we afleiden dat

Wees open container: er zijn zodanig dat de respectieve geopend.

Dus ofwel het was, goed, goud opende zo. Vervolgens door.

Dus toen ,, snijdt alle elementen, a fortiori.

En x is de afsluiting van de elementen zijn gesloten, zodat x behoort tot alle onderdelen van het snijpunt niet leeg, wat het bewijs voltooid.

Equivalentie met het axioma van keuze

We hebben eerder gesproken over de gelijkwaardigheid stelling van Tychonoff met het axioma van keuze. Het is belangrijk op te merken dat deze gelijkwaardigheid gebeurt alleen als we rekening houden met de Engelstalige definitie van compactheid, dat is de Franse quasi-compactheid. In het geval van de Franstalige compactheid, Tychonoff stelling is gelijk aan een strikt kleinere versie van het axioma van de keuze: de stelling van de ideale eerste in een Booleaanse algebra.

Terwijl de ruimte is quasi-compact voor cofiniteness: om deze gelijkwaardigheid te bewijzen, zullen we een lichte variant van de cofiniteness die een zeer interessante eigenschap heeft gebruikt.

Dit betekent dat een familie van niet-lege sets, willen we laten zien. Aangenomen wordt, zelfs herindexeren als geheel. Dus zetten we en vormden topologie schenken een van de lege verzameling, alle extra sets klaar en Singleton. Door Tykhonov, het product is de compact.

Merk op dat, wijzend op de projectie was. Nu X compact: aantonen dat we de contrapositive van het pand Borel-Lebesgue gebruikt voor gesloten wanneer elke gesloten is en dat elk eindig kruising niet leeg is, dan is het kruispunt niet leeg is, die het bewijs zal voltooien.

Of zoals is het complement van open en gesloten is. Dus tegen de continuïteit van het uitsteeksel, is gesloten. Verder ook, dat niet leeg is: immers het kiezen van de betreffende elementen worden gedefinieerd, en zo heeft het geadverteerde eigenschap.