Risch algoritme

De Risch algoritme vanwege Robert Risch, is een algoritme voor het computeralgebrasysteem, berekend primitief, dat wil zeggen, het bepalen van een functie wetenschap zijn afgeleide. Het algoritme verandert het probleem in een algebra probleem). Het is gebaseerd op de vorm van de functie te integreren en werkwijzen voor het integreren rationale functies, radicalen, logaritmen en exponentiële. Risch, die het algoritme ontwikkeld in 1968, heeft een beslissingsprocedure genoemd, omdat het in staat is te bepalen of een functie accepteert een primitieve expressie behulp basisfuncties. De Risch algoritme wordt samengevat in algoritmen voor Computer Algebra, Keith Geddes, Stephen en George Czapor Labahn. De Risch-Normandische algoritme, sneller, maar minder algemeen, werd ontwikkeld in 1976.

Beschrijving

Het algoritme van Risch beoogt de basisfuncties te integreren, dat wil zeggen de verkregen samenstelling van exponentieel, logaritmisch, radicalen, goniometrische functies, en vier rekenkundige bewerkingen functies. Laplace loste dit probleem in het geval van rationale functies, waaruit blijkt dat het origineel van een dergelijke functie is de som van een rationele en meerdere logaritmen van rationele breuken. Het algoritme voorgesteld door Laplace wordt algemeen beschreven in calculus tekstboeken; een computerprogramma, werd uiteindelijk uitgevoerd in 1960.

Tussen 1833 en 1841 Liouville strikt geformuleerde probleem opgelost door Risch algoritme. Hij liet zien dat wanneer er een fundamentele oplossing van de vergelijking G G '= f, dan zijn er constant en ai elementaire functies ui en v zodanig dat de oplossing van het formulier

. Risch ontwikkelde een methode overweegt slechts een beperkte set van elementaire functies in de vorm gegeven door Liouville.

Intuïtie waardoor de Risch algoritme afkomstig uit het gedrag van de afgeleide van exponentiële en logaritmische. Zo was fe

dus als e geplaatst in een primitieve e al moet worden in de oorspronkelijke functie. Evenzo als

lng verschijnt als alleen de onderste bevoegdheden van de logaritme moet worden in de oorspronkelijke functie.

Voorbeeld

Het bestaan ​​van een elementaire primitieve uiterst gevoelig voor de exacte details van de functie te integreren. Dus de volgende functie heeft een elementaire primitieve:

Maar dit is niet meer het geval wanneer 71 wordt vervangen door 72. De achterliggende reden is dat de Galois groep

D is, dat wil zeggen, het is gegenereerd door de permutaties en bevat acht punten, terwijl het Galois veld

S wordt gegenereerd door de permutaties ,, en omvat 24 elementen.

Uitvoering

Risch beslissingsprocedure effectief transformeren van een algoritme dat kan worden uitgevoerd door een computer, en het is een complexe taak die het gebruik van heuristieken en vele verbeteringen. In feite, in 2008, hebben we niet weten welke software draait de volledige algoritme, maar veel computer algebra systemen maken gebruik van een gedeeltelijke uitvoering. De Axiom is het enige volledig bekend te zijn geïmplementeerd negatieve deel van het algoritme, dat wil zeggen wanneer Axiom antwoordt "nee", de gevraagde primitieve kan niet worden uitgedrukt in elementaire functies, maar in veel gevallen, Axiom weigert commentaar te geven.

Zo kan Axiom een ​​primitieve gevonden in de elementaire functie van het vorige voorbeeld:

De oplossing wordt geretourneerd:

Vele andere programma's kunnen vinden van een primitieve voor de functie die met behulp van elliptische integralen, speciale functies Risch algoritme dat niet aankan.

De volgende functie is een complexer voorbeeld, de meeste software niet beperkt tot de integratie van de basisfuncties:

Toch is deze primitieve functie heeft een vrij eenvoudige vorm:

Beslisbaarheid

De Risch algoritme toegepast op alle basisfuncties is eigenlijk een semi-algoritme, omdat zij moet nagaan of in bepaalde stadia van de coëfficiënten van gedeeltelijke uitdrukkingen zijn verkregen of niet nul is. Zelfs relatief eenvoudige uitdrukkingen, weten we dat deze vraag is onbeslisbaar: de Richardson stelling.

Opgemerkt wordt dat dit probleem zich voordoet ook vele algoritmes schijnbaar zonder problemen, zoals scheiding polynoom algoritme. Daarom, in de praktijk, heuristiek gebruikt om te bepalen of deze vereenvoudigingen worden geannuleerd.

Generalisaties

Men kan de Risch algoritme voor bepaalde klassen van niet-elementaire functies breiden; met name geraadpleegd over Bronstein, 2005.

Aantekeningen

  • ↑ Deze laatste twee gevallen zijn eigenlijk een combinatie van exponentiële en logaritmen van complexe
  • ↑ vinden op dergelijke online "op de plaats van les-mathematiques.net". Betreden 20130318
  • ↑ De u en v "basis" dan g; zie artikel Rosenlicht-Liouville theorema voor details
  • ↑ Dit voorbeeld komt uit Bronstein in 1998.
  • ↑ Voor een gedetailleerde bespreking van deze kwestie, zie "Mathematica 7 Documentatie: PolynomialQuotient" Sectie: Mogelijke problemen