Ring van periodes

In wiskunde, specifiek getaltheorie tijd een complex getal dat kan worden uitgedrukt als de integraal van een algebraïsche functie op algebraïsche veld. De som en het product van twee periodes zijn nog steeds tijden, zodat de periodes vormen een unitaire commutatieve ring. Ze vormen zelfs een algebra over het lichaam ℚ algebraïsche getallen. Dit concept werd geïntroduceerd door Maxim Kontsevich en Don Zagier.

Motivaties

De ring van periodes is zowel vrij gemakkelijk te begrijpen door zijn kleine formaat en groot genoeg om niet alleen alle algebraïsche getallen te houden, maar alle wiskundige constanten "gebruikelijke", zelfs die transcendentale. De eerste van twee "principes" die door Kontsevich en Zagier bedragen dit door te stellen:

"Principe 1. Elke keer dat u een nieuw nummer tegenkomt en je hebt besloten het is transcendent, proberen om te zien of het geen tijd zou zijn. "

Afgezien van het eind van hun artikel, waarin zeer specifieke Kontsevich motivische speculatie, de twee auteurs doet "dat" bieden de doop tot een begrip dat is "in harmonie met de tijd" voor eeuwen. Michel Waldschmidt, rekenen specialist Diophantische noemt bijvoorbeeld, onder zijn eigen drijfveren voor dit concept, een stelling opvallend van der Poorten: "Laat P en Q met algebraïsche coëfficiënten veeltermen verifiëren dat Q is eenvoudig wortels en deg P & lt ; deg Q en γ is een gesloten pad, of waarvan de uiteinden zijn algebraïsche of eindeloos. Indien de integraal bestaat, dan is nul of transcendente 'eenzelfde Schneider stelling op elliptische integralen van de eerste en tweede soort, en een vermoeden van de waarden van de oneven getallen Riemann zetafunctie volgens welke perioden π, ζ, ζ, ζ, ... zijn algebraïsch onafhankelijk van ℚ.

Definitie

Een periode is een complex getal waarvan de reële en imaginaire delen van absoluut convergente integraal waarden van rationale functies met rationele coëfficiënten, op de gebieden van ℝ gedefinieerd polynoom ongelijkheden met rationele coëfficiënten.

Een overeenkomstige definitie als deze wordt beperkt doordat de integrand zo constant functie 1, dan wel wordt verlengd doordat algebraïsche functies, zowel in de integrand en inequations.

Voorbeelden

  • Alle algebraïsche nummers
  • Al hun logaritmes als
  • Het aantal π: dus ook perioden van trigonometrische functies en de complexe exponentiële.
  • Elliptische integralen van algebraïsche parameters en terminals, bijvoorbeeld de perioden toonhoogte van een Weierstrass elliptische functie van parameters g2, g3 algebraïsche: waarbij 4t - G2T - g3 = 4.
  • Waarden gehele Riemann zetafunctie en meerdere zeta functies.
  • De energie die door π juiste waarden van bepaalde hypergeometrische functies: .
  • Enkele constanten data serie of integralen van transcendente functies toevallig ook voor een periode p en q gehele getallen & gt; 0, met de beta functie) zonder -regel heeft vastgesteld.

Tegen-voorbeelden

Kontsevich en Zagier stelde drie problemen. De derde is om tenminste een nummer dat geen periode vertonen.

  • Zoals ze zelf schrijven, alle periodes wordt telbare, zijn er a priori "velen" oplossingen. Maar de impliciete probleem is als slechts één minder dan de kunstmatig Cantor diagonale procedure vast.
  • Aangezien de perioden ring is opgenomen in het lichaam van berekenbare getallen, kies "naïef" is één van de voorbeelden reeds niet-berekenbare getallen bekend aanbieden, als de constante Omega Chaitin.
  • In een recente preprint door Waldschmidt aangehaald als een "analoog van Liouville," en dat is precies wat werd verwacht en Kontsevich Zagier heer Yoshinaga toont aan dat alle perioden zijn elementaire reële getallen. Diagonaalmethode toegepaste elementaire echt, het laat ook een niet-elementaire berekenbare nummer bouwen, zodat geen tijd.
  • Een "analoge Hermite en Lindemann '' wenselijker" zou aantonen dat een bepaald aantal niet specifiek daartoe geconstrueerd, zoals e, 1 / π en de Euler-Mascheroni constante, niet een punt.
  • Waldschmidt werd vermoed dat er geen Liouville getal een periode geïnspireerd door recente resultaten op de eigenschappen van de "mate van" genoemd, dat wil zeggen de minimumafmeting van een algebraïsche domein waarvan deze periode het volume.

Beide auteurs geloven dat hun drie problemen "zijn erg moeilijk en waarschijnlijk geopend lang blijven."

Vermoedens en problemen

Een weergave van een termijn kan worden omgezet in vele behulp van drie regels:

1) additiviteit van de integrale

2) variabele verandering

3) fundamentele stelling van integratie

Gelijkheid tussen algebraïsche getallen is beslisbaar, dat tussen berekenbare getallen niet. Beide auteurs bepalen dat tussen periodes is recursief opsombaar, in het bijzonder:

"Conjecture 1. Indien een periode van twee shows, dan kunnen we gaan van de ene naar de andere met behulp van slechts regels 1), 2), 3), waar alle functies en op alle gebieden van integratie zijn algebraïsche coëfficiënten in ℚ. "

Zij vormen een probleem nog moeilijker:

"Problem 1. Vind een algoritme om te bepalen of twee perioden gelijk. "

en hun probleem # 2, geen geformaliseerde maar geïnspireerd algoritmes bekend voor het rationeel en algebraïsche nummers, herkennen als een nummer is een "eenvoudige" periode of niet, numerieke precisie van dit nummer beschikbaar zijn bij zal, afhankelijk van de voorgeschreven eenvoud.