Monomorfisme

In het kader van abstracte algebra of universele algebra, een monomorfisme is gewoon een injectief homomorfisme.

In het bredere kader van de categorie theorie, een monomorfisme is een morfisme simplifiable links, dat wil zeggen een toepassing zoals

De monomorphisms zijn wijdverspreid categorie injectieve functies; in sommige categorieën, de twee begrippen samenvallen elders. Maar monomorphisms blijven meer algemene objecten.

De dubbele van een monomorfisme is een epimorfisme.

Terminologie

De monomorfisme en epimorfisme gevestigde termen werden oorspronkelijk geïntroduceerd door Bourbaki, die monomorfisme gebruikt als afkorting voor de injectieve functies. Later theoretici categorieën gedacht hebben dat de juiste generalisatie gevallen injecteerbaarheid categorieën was dat gegeven door Bourbaki, ook al is het niet precies waar in het geval van het type monomorfisme applicaties, die een aantal misverstanden veroorzaakt , in tegenstelling tot het geval van epimorphisms. Saunders Mac Lane geprobeerd om onderscheid te maken tussen wat hij noemt monomorphisms, die concrete toepassingen zijn en waarvan de onderliggende applicaties op sets zijn injectief, en toepassingen nischen, die letterlijk monomorphisms categorieën. Echter, dit verschil was nooit wijdverspreid.

Invertibility

De omkering toepassingen noodzakelijkerwijs links mono: Als de linker is de inverse van f, dan is f mono omdat

Een omkering grond aan de linkerzijde wordt een mono-split.

Een aanvraag is mono als en slechts als de aanvraag is injectieve voor alle Z.

Voorbeelden

Elke morfisme een betonnen categorie waarvan de onderliggende functie is injectief is een monomorfisme. In een categorie van verzamelingen, het omgekeerde is waar, en daarom monomorphisms zijn precies injectieve morfismen. Het omgekeerde is ook waar in de meeste gebruikelijke categorieën door de aanwezigheid van losse voorwerpen op een generator. In het bijzonder geldt dit voor de categorieën groepen en ringen, en voor alle Abelian categorie.

Echter, alle monomorphisms niet noodzakelijk injectieve in andere categorieën. Bijvoorbeeld, in de categorie Div van deelbaar Abelian groepen en groepshomomorfisme hen monomorphisms er niet injectief: rekening houden met de toepassing quotiënt q: Q → Q / Z Het is niet injectief; Het is echter een monomorfisme in deze categorie. Om te zien, er rekening mee dat als q = q f g voor een morfisme f, g: G → Q waarbij G een Abelse deelbaar groep dan q = h, waar h 0 = f - g. Dit impliceert dat h integer als x ∈ G. Als u niet nul dan,

daarom

q tegenspraak met h = 0, h = 0 en dus Q is een monomorfisme.

Concepten

Er zijn ook regelmatig concepten monomorfisme, sterke monomorfisme en extrema monomorfisme. Een regelmatige monomorfisme gelijkmaker een paar morfismen. Een extremal monomorfisme is een monomorfisme die niet triviaal kunnen worden met behulp van een epimorfisme gefactoriseerd: meer precies, als m = e g met een epimorfisme e, dan is e is een isomorfisme. Een monomorfisme verifieert bepaalde eigenschappen met betrekking tot commutatieve diagrammen waarbij epimorfisme.