Metrisch

In de wiskunde, een metrische of afstand is een functie die de afstand tussen de elementen van een set sets. Een set met een afstand heet een metrische ruimte. Elke afstand veroorzaakt een topologie op een set, maar het omgekeerde is niet waar: een topologische ruimte is niet altijd metrizable.

In differentiaalmeetkunde, wordt de metriek woord ook gebruikt om te verwijzen naar een gedefinieerde structuur alleen een vectorruimte waarvan meer correct genoemd metrische tensor.

Definities

Een afstand over een verzameling X is een functie van X × X over ℝ reële getallen

waarbij de volgende voorwaarden voor alle x, y, z X voldoet:

  • als en slechts als;
  • ;
  • .

Een afstand van X wordt intrinsieke genoemd als twee punten x en y in X kan worden verbonden door een rechte lijn te herleiden booglengte willekeurig dicht bij d.

Een afstand van meer dan een commutatieve groep is onveranderlijk als genoemd vertaling

Op een niet-commutatieve groep waren de concepten van onveranderlijkheid en onveranderlijkheid van links naar rechts.

Als de driehoek ongelijkheid wordt versterkt door

de afstand wordt genoemd ultrametric.

Opmerkingen

Deze voorwaarden uiten intuïtieve noties van het begrip afstand. Bijvoorbeeld, de afstand tussen de verschillende punten positief is en dat de afstand van x tot y gelijk aan de afstand van y naar x. De driehoeksongelijkheid betekent dat de afstand tussen de x en z direct, niet groter is dan de afstand door eerst vanaf x naar y en y tot z. Euclid in zijn werk bleek dat de kortste afstand tussen twee punten is een rechte lijn, waarbij de driehoek ongelijkheid voor zijn geometrie was.

Eigenschappen 1, 2 en 3 volgt dat d positief-waarde: voor x en y in X, d ≥ 0.

Voorbeelden

  • De discrete afstand: als x = y, en zo ja,.
  • Euclidische afstand is invariant onder vertaling.
  • Meer in het algemeen, elke afstand geïnduceerde norm is invariant onder vertaling.
  • Als is een opeenvolging van seminorms op een vectorruimte E dan

Gelijkwaardigheid afstanden

Voor een gegeven set X zijn twee topologisch equivalente afstanden indien de uitvoering identiteit genaamd

is een homeomorfisme.

Verband tussen normen en afstanden

Gegeven een genormeerde vectorruimte kan worden gedefinieerd door een afstand X

De afstand d wordt "veroorzaakt door" de standaard.

Omgekeerd, als een afstand op een vectorruimte X voldoet aan de eigenschappen:

  • ;
  • ,

Vervolgens kan worden bepaald door een standaard X

Ook de gegevens van een semi-norm op een echte vectorruimte gelijk aan die van een standaard homogene vertaling invariante.

Alternatieve axiomatische systemen

Sommige auteurs gebruiken de volledige echte lijn en laat de functie afstand tot de waarde te bereiken. Een dergelijke metriek wordt een gegeven mate. Elke "metric extended" d kunnen worden vervangen door een afstand d1 en d2 posing

en de twee metrische ruimte begrippen zijn dus equivalent van de topologische oogpunt.

Door de verzwakking van de woning 1 verkregen pseudométriques ruimtes. Door het verwijderen van de woning 2 in plaats daarvan worden verkregen quasimétriques ruimtes. Vaak tegelijkertijd zij de eigenschap van symmetrie 2 verwijderd, verzwakt de eigenschap 1, vervangen in equivalentie van: en. Het verwijderen van de woning 3 worden verkregen semimétriques ruimtes. Alle bovenstaande combinaties zijn mogelijk en worden aangeduid met de bijbehorende namen.

De categorieën die met verschillende afstanden variaties, de uitgebreide pseudométriques gebieden met als morfismen toepassingen 1-Lipschitz, is degene die het beste presteert: men kan producten en coproducten en willekeurige vorm te bouwen quotiënten objecten. Als we verwijderen verlengd, kan het slechts en afgewerkte producten. Als we te verwijderen bijnaam, kunnen we niet quotiënten nemen. De ruimtes van aanpak zijn een veralgemening van metrische ruimtes die deze goede eigenschappen categorie handhaven.

Mits de afstand neemt haar waarden in [0, + ∞ [kan zo ontspannen gezien de "afstand waarden in een filter geordende set." De formulering van de axioma in dit geval leidde tot de bouw van uniforme ruimten: topologische ruimten met een abstracte structuur voor de lokale topologieën verschillende punten vergelijken.

Verwante begrippen

In differentiaalmeetkunde, beschouwen we de metrische tensor, die kan worden gezien als Euclidische afstand functies "oneindig" en gedefinieerd als inproduct op raakruimte met een geschikt afleidbaarheid toestand. Ze zijn niet de afstanden in de zin van dit artikel, maar ze veroorzaken door integratie. Een ras met een metrische tensor wordt een Riemannse spruitstuk. Als verwijderen we de eis dat het scalair product positief is definitief, krijgen we een pseudo-Riemannse metrische tensor, die een pseudometric integreert. Deze worden gebruikt in geometrische studie van de relativiteitstheorie, waarbij de tensor ook wel de 'afstand invariant. "