Ingeschreven hoek

In Euclidische vlakke meetkunde, in het bijzonder in de geometrie van de cirkel, de hoek stellingen geregistreerd en de centrale hoek vast relaties koppelen ingeschreven hoeken en centrale hoeken onderscheppen van een gemeenschappelijke boog.

De hoek in het midden stelling aan dat in een cirkel, een centrale hoek meting van een geregistreerde dubbele hoek onderscheppen dezelfde boog.

De ingeschreven hoek stelling is een gevolg van de twee voorgaande geregistreerd en beweert dat hoeken onderscheppen dezelfde boog hebben dezelfde maat.

Er zijn twee versies van deze stellingen, een on geometrische hoeken en de andere gericht hoeken.

Hoek Stelling centrum

Versie op de geometrische hoeken

Stelling Laat M een punt op een cirkel Γ met middelpunt O, A en B zijn twee verschillende punten van de cirkel M. Als de AMB en AOB hoeken onderscheppen dezelfde boog AB toen.

Er zijn dus twee situaties waar de ingesloten hoek apex is acuut M derhalve de tophoek van projectiecentrum O, andere waarin de ingesloten hoek stomp piek M, zodat de hoek O midden boven terugkeren.


Het bewijs van deze stelling wordt in twee fasen.

  • Eerst wordt aangetoond dat wanneer een diameter dan we :.

Inderdaad, we hebben: en als de driehoek is gelijkbenig AOM top O, we weten dat waar gelijkheid.

  • In het andere moment merken we dat, ongeacht de posities van A en B de hoek de som of het verschil van hoeken en zal dezelfde hoek som of het verschil van hoeken en zijn .

Versie op georiënteerde hoeken

De verklaring en demonstratie van eigendom zijn veel eenvoudiger met gerichte hoeken.

Stelling Als A en B twee punten van een cirkel centrum O en M Γ als een punt van Γ verschillend van A en B dan.

demonstratie maakt gebruik van alleen de Chasles relatie georiënteerd op hoeken en eigendom van gelijkbenige driehoeken.

Als OAM en OBM zijn gelijkbenige driehoeken, hebben we: en.

Substitueren krijgen we:

Wederzijdse Property Als A en B twee verschillende punten van een cirkel Γ met middelpunt O en M een afzonderlijke punten A en B: dan M is op de cirkel.

Deze eigenschap wordt gedemonstreerd door op te merken dat de vorige gelijkheid verhindert de punten M, A en B worden aangepast. We kunnen daarom overwegen het centrum O 'van de cirkel begrensd aan de MAB driehoek en gebruik maken van de directe gevoel van eigenaarschap

we krijgen :.

De gelijkbenige driehoeken en hebben dezelfde basis en vertex hoek, dus ze zijn verward en O '= O het punt M ligt op de cirkel Γ.

Ingeschreven hoek stelling

Versie op de geometrische hoeken

Stelling Twee hoeken ingeschreven in een cirkel onderscheppen dezelfde cirkelboog dezelfde handeling.

Een hoek ingeschreven in een cirkel als de top behoort tot de cirkel. De boog die onderschept kan worden verlaten of het terugkeren. In het tweede geval is de geometrische hoeken stomp, maar het pand is vermeld op dezelfde wijze.

Deze eigenschap is een direct gevolg van de stelling van de centrale hoek.

Voor sinds: en hij die komt onmiddellijk.

Versie op georiënteerde hoeken

Voor hoeken georiënteerd, het pand is een karakterisering van de cirkel die door de AMB punten.

Stelling Als drie punten A, M, B niet zijn uitgelijnd en dus is de omgeschreven cirkel AMB dan voor elk punt N verschillend van A en B, was.

Merk op dat de gelijkheid waar is dat bijna π waarin wordt uitgelegd dat de geometrische hoeken verschillend kunnen zijn.

Hoek van het touw en een tangent

Eigendom van het ingeschreven hoeken generaliseert naar hoeken die het touw achter de boog met een tangens:

De houder hoekmeting zelfs als de hoek tussen het koord, waarbij de uiteinden van de boog verbindt met het deel van de raaklijn aan de cirkel aan een uiteinde van het touw, tegenover het hoek in te stellen ten opzichte van het touw.

De ingesloten hoek is gelijk aan die van een meting van de twee hoeken die de raaklijn aan de cirkel A van de kabel

De ingesloten hoek gelijk is aan de hoek van de lijn met de raaklijn [AT).


is de hoek eindpositie geregistreerd als M "neiging" A.


Demonstratie:

Wanneer H is het midden van de hoeken en hun zijden loodrecht twee aan twee, ze zelfs meten.

zijn de bissectrice van de gelijkbenige driehoek BOA was en gelijk aan de helft van de maat van de hoek in het centrum en dus de meting van de hoek van de stelling van de centrale hoek.