HNN uitbreiding

In de wiskunde, de HNN extensie is een fundamentele constructie van combinatorische groep theorie, genoemd naar de initialen van de drie auteurs: Graham Higman, Bernhard Neumann en Hanna Neumann. Ze duikt universeel groep, uitgerust met een isomorfisme tussen twee van zijn subgroepen, in een andere groep, waar dit isomorfisme wordt binnen.

Gebouw

Zij G een groep presentatie G = en α: H⭇K een isomorfisme tussen twee van zijn subgroepen. We kiezen een nieuw symbool en we stellen t

Dan is de groep G * α de HNN uitbreiding van G met betrekking tot a. In deze constructie is G de "kerngroep" H en K 'verbonden subgroepen' en de nieuwe generator t is de "stable letter."

Essentiële eigenschappen

De voorstelling van G * α bevat alle producenten en alle verhoudingen van die van G, is er een natuurlijke morfisme van G naar G * α geïnduceerd door de identificatiegenerator. Higman, Neumann Neumann hebben aangetoond dat dit morfisme injectief. Aldus worden twee isomorfe subgroepen van een groep steeds gecombineerd in een "in-group"; bewijs van dit resultaat de oorspronkelijke motivatie van deze constructie.

Lemma Britton

Een essentiële eigenschap van HNN extensions is een normale vorm stelling bekend als Britton lemma: voor alle α G * Het schrijven van de neutrale als een product van de vorm

We hebben:

  • of neutraal en is de G,
  • of het product heeft een onder-expressie van het formulier met ∈H of vorm met ∈K.

Gevolgen van Lemma Britton

We afleiden uit deze lemma meest fundamentele eigenschappen van HNN extensies, zoals:

  • de natuurlijke morfisme van G naar G * α is injectief;
  • alle G * α van eindige orde element: een samenvoeging van een element van G;
  • Meer in het algemeen is elke eindige ondergroep van G * α geconjugeerd aan een subgroep van G;
  • als de subgroepen H en K zijn te onderscheiden van G, dan is G * α bevat een subgroep isomorf de vrije groep van rang 2.

Toepassingen

In de algebraïsche topologie, de verlenging HNN is het bouwen moet men de fundamentele groep van een topologische ruimte die "terug naar af te halen op zichzelf" via een kaart f begrijpen (zie bijvoorbeeld de cirkel bundel op oppervlakken) . De HNN extensies dezelfde rol speelt dus dit soort herbevestiging, die gratis producten samengevoegd in de van Kampen stelling, waarbij we samen twee plaatsen verbonden langs een gemeenschappelijke deelruimte lijm. Deze twee gebouwen zijn eenvoudig in dat ze in staat te stellen de fundamentele groep van elke geometrische herbevestiging te beschrijven. Zij vormen via het begrip van de grafiek van de groepen, de "bouwstenen" in de Bass-Serre theorie van de groepen die op bomen.

In combinatorische groep theorie, de HNN extensies spelen een belangrijke rol in het bewijs van zijn Higman inbedding stelling, dat elke vorm van eindige groep recursief toonbaar stort in een eindig gepresenteerde groep. De meeste moderne bewijzen van de stelling van Novikov -Boone van het bestaan ​​van een eindig gepresenteerde groep met het woord probleem algoritmisch onbeslisbaar, ook nagenoeg met de HNN extensies.

De notie van HNN verlenging werd uitgebreid naar andere algebraïsche structuren die groepen zoals Lie algebra.