Gröbner basis

In de wiskunde, een Gröbner basis van een ideaal I van K polynoomring is een set van generatoren van dit ideaal, het voldoen aan een aantal aanvullende eigenschappen. Dit concept werd geïntroduceerd in de jaren 1960, en zelfstandig door Heisuke Hironaka Bruno Buchberger, die hem de naam van zijn proefschrift directeur Wolfgang Gröbner gaf.

De Gröbnerbasissen hebben het grote voordeel van het brengen van het onderzoek polynoom idealen aan de studie van monomiale idealen, beter te begrijpen.

Rente

Laat K zijn een veld. Bij polynomen in één variabele, de ring van polynomen in een variabele K Euclidische en ideaal I K nature door de belangrijkste generator. Meer specifiek, de Euclidische algoritme men bepalen van een eindige verzameling van generatoren en dus test het lidmaatschap van een polynoom I, of een canonieke representatieve berekenen voor een element van K / I.

De polynoomring in n variabelen K, echter, is faculteit en Noetherse maar niet de voornaamste. Concreet kunnen we er niet te verlengen "van nature" de Euclidische deling van veeltermen in één variabele. Gröbnerbasissen toch toestaan ​​berekening modulo een ideaal van K, met inbegrip

  • om te beslissen of het ideale heel is K;
  • te beslissen of een polynoom behoort tot de ideale of de radicale en dus als een polynoom functie nul op een verscheidenheid;
  • vinden canonieke vertegenwoordigers in het quotiënt algebra elementen en dus het uitvoeren van algebra modulo het ideaal;
  • de grootte en de mate van diverse equidimensional bepalen.

Meer in het algemeen Gröbnerbasissen gebruikt om de functie en Hilbert polynoom van een meetmodule berekenen. Zij bieden ook een manier om het snijpunt van twee idealen bepalen.

Definitie

Een handige manier om Gröbnerbasissen bepalen is om de woordenschat van herschrijven gebruiken. Dit is de aanpak zullen we vast te stellen; Echter, de meeste van de definities dient duidelijk zonder kennis van deze concepten.

Vermindering Regel

Uitgangspunt is een reductiemethode die evenals de Euclidische deling in K, vervangen van een polynoom door een "kleinere", gelijkwaardige modulo het ideale. Monomiale is een polynoom product van onbepaalde duur en een monomial vermenigvuldigd met een scalair, de coëfficiënt genoemd. Om deze "algemene Euclidische deling" ingesteld, is het nuttig om een ​​manier om de monomials van de ring als opdracht kiezen.

Een monomiale orde is een totale bestelling op het monomen zodanig dat voor alle monomen, hebben we ,,

Een monomiale order is een order. We natuurlijk de voorwaarden vast monomial overheersende en leidende coëfficiënt opgemerkt hier λ dominante term van een polynoom f met betrekking tot een monomial orde.

Bijvoorbeeld, de lexicografische volgorde is een monomial orde. Andere relaties zijn mogelijk orde, mits zij voldoen aan bepaalde eigenschappen, dat de berekening algoritmes kan gaan tot voltooiing, zonder lus, bijvoorbeeld. Order relaties verschillende eigenschappen en daarom enkele voordelen tegen elkaar, afhankelijk van het type probleem. Bijvoorbeeld, de lexicografische orde relatief duur in rekentijd, is gunstig genoeg om projecties van het ras verband met het ideaal te maken.

Fix een monomiale orde en een eindige deelverzameling B van K. invoering van een herschrijfregel op K door te vragen

als t is de term g hoogste graad deelbaar door een λ met f∈B. Het reflectieve transitieve afsluiting van → → * heet reductie modulo B. Met andere woorden, om G te verminderen, proberen we hem aftrekken een geschikte veelvoud van een polynoom fB, zodat de dominante termen worden vereenvoudigd. Wanneer men niet aan de dominante looptijd van G te verwijderen, wordt het toegevoegd aan de "rest" van de deling en we gaan na het volgende lagere niveau.

→ reducerende uiteinden, maar is niet algemeen confluent, dat wil zeggen dat hoewel elke polynoom geeft een gereduceerde vorm modulo B, heeft het geen reden uniek zijn.

Gröbnerbasissen

Een Gröbner basis is een deel B waarvan de situatie gunstiger.

Laat ik een ideale K. Een Gröbner basis, of standaard base, I is een eindige genererende gedeelte G Ik heb ook het controleren van de volgende gelijkwaardige eigenschappen.

  • De reductie is confluent modulo G.
  • Een polynoom g behoort tot ik als en slechts als het wordt teruggebracht tot 0 modulo G.
  • Voor alle f, g G modulo G, de ∨ symbool voor de standaard LCM.
  • De dominante monomen G veeltermen genereren hetzelfde ideaal dat dominant monomen van de elementen van I.

De laatste eigenschap is de gebruikelijke definitie van Gröbnerbasissen. Het is naar theoretisch onderzoek relevant, maar de eerste twee formuleringen misschien meer vertellen. De bewering 3 biedt om zijn een eenvoudige manier om te testen of een familie van veeltermen is een Gröbner basis.

Men kan aantonen dat elke ideale toegeeft een Gröbner basis. Met deze definitie is er geen eenheid; als G is een Gröbner basis van I en als f aangesloten I, toen G∪ {f} nog een Gröbner base I. Echter, elke ideale een unieke minimumbasisberoepsopleiding Gröbner, dat is, zeggen dat je niet kunt verwijderen polynoom handhaven van de eigenschap dat een Gröbner basis van het ideaal.

Berekening

Het heeft algoritmen voor het berekenen Gröbnerbasissen. Heel in het kort, de eerste en meest bekende, Buchberger algoritme verloopt door het toevoegen van veeltermen naar de basis om geleidelijk te elimineren kritieke paren dat de bewering 3, een beetje zoals de voltooiing tegenspreken Knuth- Bendix. We weten ook de basis van de berekening van Gröbner minimum.

Deze algoritmen zijn zeer efficiënt in het slechtste geval en de meest gunstige gevallen onbekend.

Voor een ideaal polynomen van totale graad n variabelen begrensd door D, is het bekend een Gröbner base op de verrichtingen berekenen het basislichaam. Ernst Mayr en Albert R. Meyer toonde aan dat deze enorme bovengrens kon worden bereikt, en daarom is optimaal: er zijn idealen die alle Gröbner basis heeft elementen zelf dubbel exponentiële graad n. Alles is niet verloren, echter. Inderdaad, experimenteel, deze merker alleen gerealiseerd monster geconstrueerd hiervoor. In een rationeel systeem met een eindig aantal complexe oplossingen, Daniel Lazard vastgesteld dat de berekening was mogelijke tijd D. onder enigszins andere aannames, Jean-Charles Faugère geeft een terminal O. Maar in het algemeen, de complexiteit van de berekening Gröbner bases in de gebruikelijke gevallen wordt slecht gecontroleerd.