Driedeurenprobleem

Het Monty Hall probleem is een kans puzzel losjes gebaseerd op de Amerikaanse spelshow Let's Make een Deal. Het is eenvoudig in haar verklaring, maar niet intuïtief in zijn resolutie en dit is waarom het soms wordt verwezen naar haar over Monty Hall paradox. Het draagt ​​de naam van degene die het spel naar de Verenigde Staten geïntroduceerd dertien jaar, Monty Hall.

Verkondigd

Het spel kuilen een presentator van een kandidaat. Deze speler is geplaatst in de voorkant van drie deuren gesloten. Achter een van hen is een auto en achter elk van de andere twee een geit. Het moet eerst een deur te wijzen. Dan opent de presentator een deur die niet de door de kandidaat gekozen, noch verbergen de auto. De kandidaat heeft dan het recht hetzij de deur opent hij aanvankelijk geselecteerd, of de derde deur.

De problemen van de kandidaat zijn:

  • Wat moet hij doen?
  • Wat zijn zijn kansen op het winnen van de auto in de beste acteren?

Geschiedenis en ontwikkeling van de probleemstelling

Hieronder wordt gereproduceerd de vertaling van een beroemde uitspraak van het probleem, uit een brief van Craig F. Whitaker onder de kop had gepubliceerd Vraag Marylin Marilyn vos Savant Parade Magazine in september 1990:

De publicatie van dit artikel in Parade Magazine had een onmiddellijke impact op de lezers en heeft geleid tot veel discussies onder wiskundigen, beroemd of niet, en anonieme amateurs. Marilyn vos Savant, beroemd om het Guinness Book of Records als de persoon met het hoogste IQ in de wereld, heeft meer dan 10.000 brieven omgaan met het probleem, veel van academische vragen ontving de relevantie van de demonstratie gereproduceerd in zijn column. In 1991, voor een zondagse editie, de voorpagina van de New York Times opent op dit. Jerry Pournelle, gerenommeerde columnist Chaos Manor Byte, ook gesproken over het probleem bij de lengte als een tegenstander van de oplossing Marilyn, te rangschikken in het einde van zijn argumenten. Tot slot, een controversiële discussie vond plaats over het deel van de Parade Magazine in de sectie De Straight Dope door Cecil Adams gehouden in het weekblad The Chicago Reader.

De relevantie van de statistische resultaten werd soms betwist, maar die het vaakst gestelde probleem was dat het artikel niet aandringen op de "beperkingen" van de presentator. De resultaten per se gegeven betrof de volgende uitgangspunten:

  • De presentator kan de door de kandidaat gekozen deur niet open.
  • De presentator geeft altijd de kandidaat de kans om terug te keren naar zijn oorspronkelijke keuze.

Echter, omdat deze niet werden gemarkeerd in de probleemstelling, zelfs als ze waren impliciet, overige resultaten statistieken dan die vermeld in het artikel mogelijk geworden. Niets wijst erop dat de eerste verklaring moet noodzakelijkerwijs deze postulaten, moeten we in staat om het probleem te generaliseren naar andere gevallen.

Tenslotte, aangezien deze aannames impliceren de probleemstelling, bleek dat de resultaten van het voorwerp eigenlijk gerechtvaardigd.

Toch miste hij op zijn minst een belangrijk element: de vraag of de kandidaat wel of niet moet haar oorspronkelijke besluit om meer kans op het winnen van de auto had zin als de verklaring gezegd hebben dat te veranderen, hoewel de presentator wist precies wat er achter elke deur, juist weggelaten element in het deel van de Parade Magazine. Als de presentator niet weet, dan is de vraag zou zijn zinloos geweest.

Dat gezegd hebbende, deze uitspraak doet is te registreren in overeenstemming met die voor dit type van de paradox.

Inderdaad, een van de eerste optredens van de 1898 datum probleem berekenen van waarschijnlijkheden van Joseph Bertrand, waar hij wordt beschreven als de paradox van Bertrand box.

Een actuele ondubbelzinnige verklaring

Dus is het beter om te vertrouwen op een eenduidige verklaring van het probleem, daarom uitdrukkelijk onder de beperkingen van de presentator, beschreven door Granberg en Mueser als volgt:

  • Achter elk van de drie deuren ofwel een geit of een auto, maar slechts één deur opent in een auto terwijl twee deuren leiden naar een geit. De deur van het verbergen van de auto werd door het lot aangewezen.
  • De speler kiest één van de deuren, zonder evenwel Wat achter wordt geopenbaard in dit stadium.
  • De presentator weet wat er achter elke deur.
  • De presentator dient één van de twee overgebleven deuren en de kandidaat moet bieden de mogelijkheid om de keuzes van de deur te veranderen permanent geopend.
  • De presentator altijd openen van een deur waarachter verbergt een geit, in feite:
    • Als de speler kiest een deur waarachter een geit, de presentator opende de andere deur wanneer hij weet dat er ook een geit.
    • Als de speler kiest de deur verbergen van de auto, de presentator kiest willekeurig een van de twee deuren waarachter een geit.
  • De presentator moet een kans om de aanvrager in zijn eerste selectie te blijven of om terug te keren en de deur die is ofwel door hemzelf of door de kandidaat geselecteerd te openen bieden.

De vraag die dan rijst is:

  • De speler verhoogt hij zijn kansen op het winnen van de auto door het veranderen van haar aanvankelijke keuze?

Of zet het op een andere manier, betekent dit:

  • Is de kans om te winnen door het veranderen van de deur groter is dan de kans op het winnen zonder dat deur?

Of:

  • Wat is de beste strategie: Maak een nieuwe keuze of blijven met de oorspronkelijke keuze? Zullen ze krijgen de kans verhogen, verlagen of blijven ze hetzelfde?

De oplossing

Controverse

Als u een snelle en intuïtieve reactie te vragen, zijn twee onverenigbare standpunten tegenover.

  • De eerste conclusies die na het openen van de deur, zijn er twee deuren, elk heeft een gelijke kans verbergen van de auto. Het was dan ook net zoveel kans om te winnen met veranderingen ongewijzigd.
  • De tweede zegt dat als we niet de deur te veranderen, winnen we als en slechts als we de juiste keuze had gemaakt bij de start. Maar deze keuze was een een op de drie kans om goed. Er is dus 1/3 kans om te winnen zonder te veranderen, 03/02 kans om te winnen veranderen.

Dit probleem is al lang een geval van probabilistische paradox waarvoor er twee tegenstrijdige oplossingen te verdedigen zonder dat iemand erin slaagt om de interpretatie zegevieren. Oplossing 2 / 3-1 / 3 is vereist, met name na afloop van de simulatie van een groot aantal afdrukken. Merk op dat de eerste weergave een pariteit illusie omdat dat een keuze worden gemaakt over beide deuren gesloten terwijl de twee overige deuren hebben ontvangen betere kans op het raken het gewenste object door het openen een deur geit! Het probleem is niet zo moeilijk als u zich bewust bent van de cognitieve illusies dat het verbergen.

Belangrijke veronderstellingen

  • De drie deuren, omdat geen open dezelfde waarschijnlijkheid dat de winnende deur; Deze aanname komt overeen met de volgende twee:

Een keuze moet dan worden gemaakt tussen de volgende voorwaarden:

  • De presentator kan een deur open en kan door de speler of de winnende deur gekozen deur niet.
  • Toen de presentator kan kiezen tussen twee deuren te openen, het willekeurig kiest tussen de twee, met gelijke waarschijnlijkheid; Dit maakt niet uit, omdat de deuren onderscheiden minder functioneel met elkaar.

Deze veronderstellingen zijn belangrijk, en we zullen zien dat alle leads veranderen tot een ander resultaat. Maar vaak is het gebruik van een aantal van deze aannames wordt geïmpliceerd.

Weerlegging van pro-half argumenten

Boven lang de redenering heeft niet unaniem. Hij werd ervan beschuldigd te overwegen het openen van een verkeerde deur verlaat ongewijzigd de kans dat het in eerste instantie gekozen voor de deur is goed. Het is inderdaad zich afvragen waarom de opening van de derde poort verandert de kans dat een van de twee deuren. In het bijzonder is het duidelijk dat indien de twee deuren waren geopend, deze waarschijnlijkheid wordt een zekerheid, hetzij in één richting of de ander. Hieruit blijkt dus dat de kans varieert met kennis: het is de notie van voorwaardelijke kans, en in feite alle waarschijnlijkheid legt Myron Tribus, is afhankelijk van een stand van de kennis.

Degenen die deze redenering weigeren rekening houden met de situatie na het openen van een deur is gelijk aan een deur te openen voor de slechte keuze van de kandidaat. Zij beweren dan ook dat de kans op het winnen is hetzelfde door het veranderen of zonder wijzigen of 1/2.

De fout van dit soort redenering is om alleen het geval handhaven "een deur werd geopend." Als een deur slechts de twee niet-geselecteerde poorten, die een geit onthuld geopend willekeurig, zou de waarschijnlijkheid van 02/01 wordt bij elk van de andere twee deuren. Weten welke set de richting van het spel wanneer de wagen onthuld irrelevant.

Dit soort redeneringen assimileert een willekeurig fenomeen en de kennis die men heeft van de realiteit van het fenomeen. Het is de gedachte dat een Bayesiaanse waarschijnlijkheid de digitale vertaling van een kennis.

Bij het begin van het spel kiest de speler een deur willekeurig, heeft hij geen idee over de positie van de wagen, de waarschijnlijkheid om de juiste deur dan drie kans.

Het openen van een deur of twee of drie na de keuze, zal a posteriori waarschijnlijkheid niet veranderen, dat men moest de juiste plaats op het begin van het spel kiezen, maar in plaats daarvan kan brengen ons een aanwijzing voor de positie van de auto.

In ons geval opende de facilitator of deur die de speler niet heeft geselecteerd en achter die deur verschijnt een geit. Is het de kennis die we hebben van de kans dat achter de door de speler gekozen deur verbergt de auto te veranderen? Ja om Bayesiaanse omdat de omstandigheden van kennis zijn aan het veranderen. Niet voor frequentistische, die van mening dat de kans wordt geassocieerd met het evenement zelf en niet voor de waarnemer. Omdat er twee geiten, kan de begeleider altijd een deur open om een ​​geit te openbaren, ongeacht van het beeld achter de deur aanvankelijk gekozen door de speler. De kans dat door de speler gekozen deur verbergt een auto is altijd een kans drie. Maar we zeker weten dat de wagen achter een van de beide niet openen als de waarschijnlijkheid dat het achter de deur aanvankelijk gekozen 03/01 dan de kans dat het achter de andere deur: 1 - 1/3 = 2/3. Het is daarom noodzakelijk voor de speler Bayesiaanse valuta van keuze, maar niet voor frequentistische.

Nu kunnen we direct kijken, na het openen van de deur door de begeleider, als kennis van de kans dat de auto niet achter de open deur en niet gekozen door de speler vorderde. Het antwoord is ja, want als de auto is achter één van de twee deuren niet gekozen door de speler, de host verwijderd van de geit, alleen de auto verlaat. Door het veranderen van zijn keuze zodat de speler een kans van 2/3 x 2/3 = 1 aan de auto te vinden. De hulp van de begeleider is om de verkeerde keuze twee van de drie op voorwaarde natuurlijk dat de speler verandert zijn eerste keuze te elimineren.

Voor een formele demonstratie, zie "resolutie van Bayes 'formule'.

Het aansluiten van de verschillende berekeningen

Om de wiskunde te doen voor het openen van de deur, moeten wij zo redeneren: moet men de mogelijkheid dat de aanvankelijk gekozen deur is goed, en dat elk van de andere twee deuren is goed te overwegen. We moeten dan rekening houden met de uitkomst van elk van deze mogelijkheden, dat wil zeggen wonder welke deur wordt geopend door de presentator en wat het zal nemen om vervolgens te winnen. Een snel ziet dat de kans op het winnen door het veranderen is 1-p, waarbij p de waarschijnlijkheid het deur aanvankelijk gekozen om de juiste Hier 03/01 zijn. Dus hier win je 2 van de 3 keer veranderen. Het is hier belangrijk om te onthouden dat er nooit overgeven, anders is het bovenstaande argument is niet langer geldig.

Is de kans onveranderd ten opzichte van de opening? Niet noodzakelijk, maar de berekeningen zijn uitgevoerd nadat situaties subcases van de vorige berekening. Dus zonder meteen zeggen dat de kans onveranderd moet het gewogen gemiddelde van de waarschijnlijkheden voor elke deur geopend door de presentator overeen met de vorige berekening. Om te beweren dat een 1 op 2 kans om te winnen zonder dat onafhankelijk van de open deur is inconsistent.

Om de kans na te beoordelen, u alleen echt zien dat er keuzes na totale symmetrie tussen de twee niet-geselecteerde deuren. Omdat de gewogen gemiddelde waarde van 2/3 moet zijn en de sub-gevallen moeten hetzelfde resultaat geven, herstellen we 2 van 3 kansen om te winnen door het veranderen, ongeacht de open deur. Het was daarom belangrijk om op te merken dat wanneer twee deuren kunnen worden geopend, de keuze is equiprobable.

2/3 Het resultaat is volkomen geldig, maar het mag niet bekendmaken specificeren dat rust op de perfecte symmetrie van de rol van niet-geselecteerde deuren. Door het breken van deze symmetrie, alle resultaten zijn mogelijk.

Bovendien is de redenering van het feit dat het spel nooit toestemming voor de release. Als de presentator zijn kennis van de echte deur niet te exploiteren, niet de bovenstaande berekeningen niet van toepassing.

Sleutels tot het begrijpen van het probleem

Redenering met de kans dat de presentator geeft informatie

Neem het geval van een kandidaat die altijd volgt dezelfde strategie in elk spel, systematisch aan zijn eerste keuze te handhaven. Deze kandidaat zal 1 op 3 kans op het winnen van de auto. Gemiddeld, dus winnen na drie en onvermijdelijk verliezen 2 keer 3, precies alsof de presentator niet open deur.

In plaats daarvan, een kandidaat die de tegenovergestelde strategie volgt, altijd veranderen zijn eerste keuze, verdienen gemiddeld 2 maal 3, in feite, wanneer de presentator opent deur twee scenario's mogelijk:

  • ofwel de kandidaat koos de auto en de presentator opent een deur, het niet verstrekken van informatie
  • is de kandidaat gekozen voor een geit en de presentator opent de deur van de enige overgebleven geit, aangeeft dat de resterende deur, zoals het verbergen van de auto.

Dus vertrouwen op de presentator te veranderen zijn keuze brengt 2 van 3 kansen om te winnen.

We merken in het voorbijgaan dat de presentator heeft absoluut geen vrijheid in feite de informatie of niet, zodat zijn bereidheid om te helpen of schade heeft geen effect.

Redenering door de complementaire waarschijnlijkheden

Als de kandidaat kiest een deur, er 1 in 3 enkele kans dat de auto en 2 van 3 kans op een geit achter. Deze waarschijnlijkheden zijn a priori waarschijnlijkheden en verandert niet tijdens het spel. Wanneer de presentator brachten een geit, de waarschijnlijkheid van een geit achter de gekozen deur altijd 2/3, en dus de waarschijnlijkheid dat de auto is achter de overgebleven deur is ook 2/3. Vandaar de noodzaak voor de kandidaat om de resterende deur te kiezen en te veranderen zijn keuze.

Diagrammen

De kans dat de wagen achter de resterende deur kan worden berekend met de volgende diagrammen.

Na het kiezen deur nummer 3 bijvoorbeeld de kandidaat een één op drie kans dat direct op de wagen en twee van de drie toeval dat de wagen van de twee overige deuren.

Aangezien er slechts één auto is er een 100% kans op een geit achter ten minste één van de deuren 1 en 2.

De presentator opent nu de deur 1. Natuurlijk is de presentator opent nooit een deur naar de auto, dus niet verwonderlijk de deur één kijkt een geit die het effect van de overdracht van de waarschijnlijkheid 2/3 kans heeft een auto of op de deur 1 en 2 zoals hierboven uitgelegd, maar alleen op de deur 2.

Nog eenvoudiger kunnen we herformuleren zeggen dat wanneer na de aanvankelijke keuze van de kandidaat mogelijk dat de wagen achter deur 1 en 2 was, is niet meer het geval is na het openen van de deur 1 presentator: alleen de deur 2 is nog steeds kans om de auto te verbergen

Onderstaand schema toont dezelfde redenering een meer volledige en geformaliseerde wijze:


Herformuleren de verwoording om de intuïtieve resultaat maken

Hoe hieronder te spelen is gelijk aan de "systematische verandering de eerste keus", maar de redenen voor de definitieve verdeling 1 / 3-2 / 3 veel intuïtiever verschijnen.

Houd dezelfde regels, maar wijzigt de formulering van het doel: Om te winnen, in plaats van het vinden van de auto moet u de twee geiten te verwijderen.

Op dit moment, de kans te hebben geëlimineerd de twee geiten 2/3 maal 1, dat wil zeggen 2 tot 3 kansen zeggen.


Simulatie

Zoals hierboven is aangetoond, de theoretische waarden van de kansberekening zijn:

  • 03/01 kans op het winnen van de auto zonder het veranderen van de oorspronkelijke keuze, of ongeveer 33,3%.
  • 03/02 kans op het winnen van de auto door het veranderen van de oorspronkelijke keuze, of ongeveer 66,7%.

Maar we kunnen ook het uitvoeren van een simulatie met behulp van een computerprogramma reproduceert fictieve delen en te zien of, op een groot aantal onderdelen, de gesimuleerde resultaat heeft de neiging om resultaat gegeven door waarschijnlijkheid en bevestigen. Voor die twee gevallen worden onderscheiden:

  • Wanneer er een verandering in het oorspronkelijke keuze
  • Als de eerste selectie wordt behouden

In elk geval moet het een veel situaties de foutmarge te verminderen en gezien het percentage van de kandidaat wint de auto.

Programma voorbeeld:

Hier is een voorbeeld output van het programma voor een miljoen opeenvolgende simulaties:

  • Het slagingspercentage zonder wijzigingen is 0,333571.
  • Het slagingspercentage door het maken van een verandering is 0,666429.

Bovenstaande simulatie, zoals andere op internet bevestigt de theoretische resultaten van 03/01 en 03/02 en in het bijzonder als het aantal iteraties is belangrijk; men kan de waarschijnlijkheid van dergelijke resultaten ervan uitgaande dat de werkelijke kans is 1 / 2-1 / 2 te berekenen, kan willekeurig klein worden gemaakt door het aantal proeven.

Het is dit argument dat een goede natuurlijke scepsis overwint, en uiteindelijk overtuigde Paul Erdos aanvankelijk zeer terughoudend zelf, als we geloven Le Figaro Magazine. Het is meestal gemakkelijker fout te gaan in een simulatie in redeneren, zelfs kans, maar het is zo gemakkelijk om te schrijven, dat laat weinig ruimte voor fouten, ongeacht het resultaat sterk vermoeden tegen-intuïtief.

Cousin probleem: drie gevangenen

Hoewel dit probleem is isomorf aan de Monty Hall, interpretatie merkwaardig triggers geen vergelijkbare ontkenning:

Terwijl drie gevangenen geconfronteerd met de uitvoering, een van hen geleerd van betrouwbare bronnen dat één van de drie werd vergeven op het laatste moment. De bewaker weigerde op te geven haar naam vergeven, maar overeengekomen om het de naam van een van de veroordeelden, dat is niet zijn. Moet de gevangene te laten zien gerustgesteld door het horen van de naam van een van de andere twee?

We kunnen het geloven en denken dat de overlevingskansen van de gevangene gestegen van 1/3 tot 1/2. In werkelijkheid, het probleem is exact hetzelfde als de Monty Hall en toont op dezelfde wijze dat de kansen op de gedetineerde te vergeven altijd 1/3. Voor tegens, de derde gevangene, die niet is genomineerd, nu twee van de drie kans om te ontsnappen.

Besluit van de Bayes theorema

De verklaring uiteindelijk verwijst naar een kwestie van de voorwaardelijke kans en volgens de algemene formulering van de stelling van Bayes:

  • Of elk geval niet nul waarschijnlijkheid
  • Is ofwel een reeks van evenementen, elke niet-nul kans, zowel onderling exclusieve en uitputtende,

Vervolgens voor iedereen, hebben we:

Een toepassing van de stelling van Bayes aan de Monty Hall probleem kan als volgt worden geformuleerd:

Beschouw het geval dat de deur 3 is geselecteerd en geen deur nog open. De kans dat de auto achter deur 2 p is 03/01, hetgeen waarschijnlijk ook dezelfde voor elke deur.

De kans dat de presentator de deur opent dan p 1 1/2. Inderdaad, de kandidaat gekozen voor drie en presentator gate te weten wat er achter elke deur:

  • Ofwel is de auto achter deur 1: presentator de deur 2 te openen.
  • Ofwel is de auto achter deur 2: 1 presentator opende de deur.
  • Ofwel is de auto achter deur 3: de presentator zal de deur openen 1 of presentator de deur te openen 2

De kans dat de presentator opent de deur een wetende dat de auto achter deur 2 is p = 1. De mogelijkheid dat de auto achter deur 2 gezien het feit dat de presentator opent de deur 1 is:

Varianten

Veel alternatieven zijn voorgesteld, het veranderen van de instellingen. Het is vaak mogelijk om de oplossing van elk probleem met gewone redenering als het belangrijkste probleem, maar de moeilijkheid in het begrijpen van de rol van elke aanname leidt vaak tot een fout antwoord en daarom best eerst oplossen van de probleem analytisch.

Indien een groot aantal deuren

Het is misschien gemakkelijker om de hierboven in overweging 100 deuren results begrijpen en niet drie zoals voorheen. Als de kandidaat kiest een deur, het heeft een 99% kans om een ​​met een geit achter kiezen. Omgekeerd is de kans dat direct op de deur verbergt de waarde is zeer laag. Stel nu dat de presentator opent, niet een enkele deur, maar 98 keer, uiteraard onthullen 98 geiten, terwijl het aanbieden van de kandidaat om zijn eerste keuze te veranderen en kies de andere deur. Bij 99% deze deur zal de waarde prijs bevatten, zoals aan het begin van de kandidaat een 99% kans van het kiezen van een deur met een geit had. Zal de kandidaat een belang in het veranderen van zijn oorspronkelijke keuze te hebben.

De demonstratie is hetzelfde, maar het resultaat is meer intuïtief: het lijkt zo verdacht dat alle niet geselecteerde open waren, behalve één.

Het kan ook van de niet-geselecteerde vertrekken deuren gesloten, en zelfs mogelijk om meer dan één deur aanvankelijk selecteren. In het algemeen uitgaande van n gesloten deuren nadat de kandidaat voorgedragen c deur, de presentator opent deur m, waarbij m een ​​geheel getal tussen 0 en n-1. De kans om in de juiste plaats zijn:

  • 1 / n voor de c deur aanvankelijk gekozen
  • voor elk van de andere deuren.

Het is gelijkwaardig aan deuren openen m een ​​voor een aan kandidaten afneemt tussen elke opening van een verandering van zijn keuze of de deuren tegelijk m.

Deze formules worden verkregen door berekening met een boom, maar u kunt ze vinden onmiddellijk met het feit dat wanneer de deuren waren oorspronkelijk allemaal even waarschijnlijk om de auto te verbergen, ze te openen in de uitvoer kansen voor de geselecteerde deuren oorspronkelijk.

Soudoyons organisatoren

Tot nu toe hebben we altijd aangenomen dat de deuren oorspronkelijk gelijke waarschijnlijkheid om de auto te verbergen. Wat zal er gebeuren als dit niet het geval is?

Men kan zich voorstellen dat bijvoorbeeld de kandidaat de assistent-presentator, die naar hem is gebleken dat de juiste deur verbergt een geit heeft gebaggerd. Onverstandig de kandidaat selecteert eerst de middelste deur. De presentator opent vervolgens de linker deur. Wat zijn de kansen?

  • Als wij hebben het volste vertrouwen in de wizard, een voor de hoofdingang, 0 voor de rechter deur
  • Als de wizard wist niets en deed weten om het interessant, het probleem is gelijk aan het initiële probleem van de middendeur 1/3, 2/3 voor de rechter deur
  • Als de wizard is getracht de aanvrager in de fout, 0 wekken voor de centrale deur, één voor de rechter deur

Er is een formule door de toepassing van de stelling van Bayes: 1 zijn genummerd willekeurig deur oorspronkelijk gekozen, 2 deur geopend door de presentator en de laatste deur 3; is er de kans dat oorspronkelijk voor de deur verbergt de auto i

kans groot dat na het openen van de deur 3 en 1 voor de deur.

In feite is het juist te zeggen dat de oorspronkelijk gekozen deur heeft een kans om de onveranderde auto verbergen als het nul is of, of meer algemeen voor n deuren als de gemiddelde kans openslaande deuren naar de wagen verbergen gelijk aan de gemiddelde waarschijnlijkheidsdrempel gekozen om de autodeuren verbergen.

Vergeet niet dat het gelijk om te zeggen dat de deur aanvankelijk de waarschijnlijkheid van het verbergen van de auto onveranderd of ongeopend-geselecteerde deuren erfde de waarschijnlijkheid van open deuren heeft gekozen.

Voor een meer gedetailleerde analyse van vergelijkbare situaties, waar alleen aanbiedingen meer rechtstreeks waarschijnlijkheden, maar strategieën in een recent artikel van Sasha Gnedin.

Verander de regels van openheid

We danken aan Jean-Paul Delahaye twee varianten die duidelijk verlichten het belang van de regels van de deuropening. In een artikel in Scientific American, stelde hij voor dat de presentator opent een deur willekeurig geselecteerd uit de twee deuren niet door de kandidaat gekozen, het spel opnieuw beginnen vanaf nul als hij de deur verbergen van een auto geopend. Een tweede alternatief wordt voorgesteld om een ​​deur willekeurig gekozen tussen de twee deuren waarachter een geit te openen, het herhalen van het spel dat hij de door de kandidaat gekozen deur open.

Delahaye verklaard dat de resultaten van deze varianten gelijkwaardig waren aan die van het oorspronkelijke probleem. Maar letters lezers hem te herstellen: de kansen zijn 03/01 voor de verandering te winnen 103/01 voor het handhaven van de eerste keuze is een winnaar, 1/3 voor het bestaan ​​van korting ... Ofwel op het totale spel 1 op 2 kans om te winnen, ongeacht de in de eerste ronde gekozen strategie niet geannuleerd .

Hier begrijpen we het belang van regels die het openen van een deur aan zowel de keuze van de speler en de juiste plaats positie te bepalen.

Nog te introduceren een aantal variaties beter te begrijpen:

De deur geopend door de presentator wordt gekozen uit 3-deurs, zonder rekening te houden met de keuze of het gebruik van auto's: men vindt dit keer 5 kansen van 9 korting, 2 odds van 9 om te winnen door het veranderen, 2 kansen van 9 winnen ongewijzigd. Nogmaals, gelijke kans uiteindelijk winnen met of zonder veranderingen.

De presentator opent een van de deuren niet gekozen door de kandidaat te kiezen 3 van de 4 de deur van het verbergen van de auto als het deel uitmaakt van: dit moment is er één kans op twee van remissie, 1 van de 3 winnende zonder veranderen en 1 van de 6 door het veranderen winnen! Uiteindelijk, 2 van de 3 kans om te winnen zonder te veranderen. Door scheeftrekken regels kan de effectiviteit van de strategieën te keren.

Meer in het algemeen, als er een kans p voor het verbergen van het portier geopend is wanneer het niet werd geselecteerd, 1/3 wint u zonder wijziging, * 2/3 kans op door het veranderen 2p / 3 kans opnieuw in. Uiteindelijk is er 1 / win zonder wijziging, 1-1 / wijzigen.

Laatste variant: de presentator opent een deur van de auto niet verstoppen en niet gekozen kandidaat, maar niet willekeurig integendeel, opent hij altijd de meest rechter deur aan bovengenoemde criteria. Deze keer, als we kiezen voor de middelste deur:

  • Als de rechter deur is één van de twee linker, de presentator opende de rechter deur
  • Als de rechter deur de juiste is, de presentator opent de linker deur.

Dus de kans op het winnen is niet meer veranderen, maar 1 2/3 of 1/2, afhankelijk van de zaak, de totale verwachte resterende 2/3.

Generaliseer zelfs als de deur geopend was een waarschijnlijkheid p open zijn als er een keuze, de kans op winnen is 1 / wijzigen en p / ongewijzigd. Advantage altijd veranderen.

In het geval dat het spel of niets

Parallellen vaak besproken tussen de driedeurenprobleem en Deal or No Deal spel, aangepast onder de naam Take it or leave Frankrijk. Inderdaad, de game bevat een aantal dozen met verschillende hoeveelheden variërend van zeer laag tot zeer hoog, dat moet worden verwijderd totdat er meer dan twee. Het is dus gemakkelijk beide ervaringen kan worden verlaagd tot hetzelfde principe deuren vergelijken.

Echter, er is een groot verschil dat de driedeurenprobleem maakt is niet van toepassing Take it or leave it. Immers, in deze laatste, niet de presentator die een deur die noodzakelijk schuilt een goedkope prijs wordt geopend, maar de kandidaat zelf.

Dus, bij de beslissing om een ​​doos te openen, de kans te elimineren van een hoogwaardige prijs is niet nul, en plotseling, als de keuze wordt geboden aan de kandidaat om zijn vak te delen met de laatst overgebleven, aangezien het geëlimineerd alle andere vakken in willekeurige volgorde, de kans op het winnen van de jackpot door het uitwisselen van de doos blijft 1/2.

Case in point met 3 overgebleven dozen met A en B en C met € 1 € 1 miljoen. Elke gebeurtenis is even waarschijnlijk.

  • De kandidaat heeft het vak A, B elimineert het vak, is het niet wisselen: verloren.
  • De kandidaat heeft het vak A, B elimineert het vak, ruilt hij: gewonnen.
  • De kandidaat heeft het vak A, het elimineert de doos C: verloren met of zonder wisselen.
  • De kandidaat heeft het vak B, het elimineert het vak A, het niet uitwisselen: verloren.
  • De kandidaat heeft het vak B, het elimineert het vak A, dat uitwisselingen: gewonnen.
  • De kandidaat heeft het vak B, het elimineert de doos C: verloren met of zonder wisselen.
  • De kandidaat heeft de doos C, het elimineert het vak A, het niet uitwisselen: gewonnen.
  • De kandidaat heeft de doos C, het elimineert het vak A, dat uitwisselingen: verloren.
  • De kandidaat heeft de doos C, het elimineert de doos B, het niet uitwisselen: gewonnen.
  • De kandidaat heeft de doos C, het elimineert de doos B, dat uitwisselingen: verloren.

Wanneer niet meer dan drie dozen, dus het heeft een 12/04 kans op het winnen van de jackpot. Echter, het heeft ook een kans van 03/01 tot de kast met de hoofdprijs te elimineren. Dus, in de 8 mogelijke gevallen waar het niet is geëlimineerd de jackpot, zijn er evenveel kansen om te winnen door het delen die door hem geven: 1/2.

Opgemerkt moet worden dat in Deal of laat, zijn er twee subtiliteiten om te weten: de bankier, die een uitwisseling kan bieden, kan ook voorstellen een som geld. De tweede subtiliteit is dat de bankier kent de inhoud van de dozen: ineens, afhankelijk van wat het biedt, kan de beslissing van de kandidaat beïnvloeden en zet de situatie naar zijn eigen voordeel.

Global formule

Geef een uitgebreide formule voor alle varianten van de twee voorgaande leden. Opmerking:

  • de kans voor de oorspronkelijk gekozen deur is goed
  • de kans dat de deur vervolgens wordt geopend hetzij goed
  • de waarschijnlijkheid van de derde deur goed

En we

  • de kans dat de presentator verkiest de deur oorspronkelijk door de geselecteerde kandidaat openen
  • de kans dat de presentator verkiest de deur verbergen van de auto te openen
  • de kans dat de presentator opent de derde poort

En we

  • de kans dat de presentator opent de deur "verboden" geselecteerd en verbergen van de auto
  • de kans had de deur dat hij net geopend toen hij kan kiezen om te worden geopend
  • de kans had open zijn de andere deur

En we

De kans is:

  • P =
  • P =
  • P =
  • P =

een handgreep

En uiteindelijk:

  • P =
  • P =

Beëindigen gain waarschijnlijkheden voor elk van de strategie is gelijk aan de kans op het winnen van een handvat aan de wetenschap dat de huls lead.

Deze formules worden verkregen zonder veel moeite door berekening met een boom.

Quantum probleem

Een gewaagd alternatief is het probleem omzetting in de wereld van kwantumfysica. Het is niet meer open deuren, maar om metingen uit te voeren op een systeem. Deze tijd wordt gekozen als een meetvector, mogelijkheden onbegrensd.

De situaties resulterende verschillen. Volgens deze laat alleen de speler enige presentator of zowel de verschijnselen in hun voordeel, de kansen min of meer in het voordeel van de speler, maar in een enigszins analoog aan de traditionele problemen, de verkeerde strategie is om te blijven de initiële vector en de rechterkant is een vector loodrecht op de oorspronkelijke vector te kiezen.

In de literatuur

De schrijver en Britse schrijver Mark Haddon presenteert en demonstreert de Monty Hall probleem in zijn roman Bizarre voorval met de hond in de nacht, en Bernard Werber herhaaldelijk. In POPCO roman Scarlett Thomas, Alice legt de redenering met betrekking tot de Monty Hall probleem, en de controverse die het genereert door zijn tegenstanders. Roman van Robert J. Sawyer's roept in zijn stand-by. In zijn roman geliefd Tooth Ian McEwan, heroïne Serena Frome zegt driedeurenprobleem haar minnaar en auteur Tom Haley, die een nieuwe zal trekken.

In de bioscoop

In de film Las Vegas 21, een blackjack film, een student vraagt ​​zijn leraar aan het MIT in Boston oplossen van het driedeurenprobleem om te zien of het goed genoeg om zijn blackjack club. De student antwoordt dat er twee keer meer kans met een verandering, dat is een goed antwoord.

Er is ook het probleem in aflevering 13 van het eerste seizoen van de serie Numb3rs, wanneer de wiskunde professor Charlie Eppes probeert zijn studenten te leren.

In aflevering 8 van de serie Sūgaku Joshi Gakuen Nina kijkt uit op het Monty Hall probleem tijdens zijn uitdagingen tegen Satoko