Dirichlet"s eenheid theorema

In algebraïsche getaltheorie, de stelling van Dirichlet eenheden bepaald voor een getallenveld K - dat wil zeggen, een eindige uitbreiding van het gebied van rationele getallen ℚ - de structuur van de 'groep van eenheden "van ring van de algebraïsche getallen. Zij stelt dat deze groep is isomorf aan het product van een eindige cyclische groep en een gratis Abelse groep rang R1, waar geeft het aantal morfismen van K in ℝ en R2 het aantal paren van morfismen van K in combinatie met de waarden in ℂ niet allemaal echt.

Definities en theorema

  • Een veldnummer is een eindige uitbreiding van ℚ, dat wil zeggen, een deelgebied van ℂ die als ruimte vector op ℚ is van eindige afmeting. Als K dergelijk orgaan op ℚ dimensie n, het aantal K lichaam morfismen ℂ gelijk aan n. Maar de verbinding van de conjugatie automorfismegroep en een dip nog een dip. Het was dus n = r1 + 2R2, waarbij r1 = het aantal dips met reële waarden en r2 die paren dips conjugaten niet alle reële waarden.
  • Een complex getal heet algebraïsche integer als wortel van een monische veelterm met coëfficiënten in de ring van gehele getallen ℤ.
  • Een gratis Abelse groep van rang r is een groep isomorf aan ℤ.

De stelling van Dirichlet eenheden wordt uitgedrukt als volgt:

Voorbeelden

Beschouw de integrale sluiting van een kwadratische lichaam, dat wil zeggen de ring van gehele getallen van een kwadratische algebraïsche uitbreiding van ℚ zeggen. Dus we hier: R1 + 2R2 = 2.

Wanneer deze ring is opgenomen in het gebied van onroerend, r1 r2 nul dus 2. De groep is isomorf met {1, -1} × ℤ. Dit is bijvoorbeeld heel ℚ kwadratische lichaam. De Pell vergelijking wordt opgelost met de bepaling van de groep van eenheden van de ring van gehele getallen van een echte kwadratische veld.

Anders r2 = 1 en r1 nul. De laatste groep is cyclisch; Het wordt gewoonlijk gereduceerd tot {1, -1}, behalve de Gaussian gehele getallen en die Eisenstein. Deze twee kwadratische integer ringen zijn de enige volledige sluitingen van het nummerveld een groep eindige orde strikt groter dan 2 eenheden.

Voor andere doeleinden dan ℚ zichzelf en imaginair kwadratisch velden nummer velden, de groep van gehele getallen ring eenheden is oneindig, omdat de rang R1 + R2 - 1 is groter dan of gelijk aan 1. Deze rang is 1 als en slechts als het lichaam is echt zijn kwadratische of kubieke complex of quartic geheel denkbeeldig. In deze drie gevallen is elke generator van vrije Abelian factor ℤ een fundamentele eenheid genoemd.

Demonstratie

De n = R1 + 2R2 inbeddingen van K in ℂ zijn beoordeeld σ1, ..., σn, de eerste aanwijzing van r1 werkelijke dips en σr1 {+ k, k + R2 + σr1} aanwijzing van het paar dips conjugaten.

De relatieve standaard α een element van K is het product van zijn rationele koppelbare elementen:

Als α behoort tot de ring van algebraïsche gehelen OK K dan is een rationeel getal is, en α behoort tot de groep OK E eenheden als en slechts als het gehele getal is ± 1.

Dit motiveert de volgende definitie van morfisme groepen:

waarbij | x | geeft de absolute waarde van x of zijn modulus, als x reëel of complex.

Relatief weinig elementaire waarnemingen in staat om een ​​groot deel van de staat tonen:

  • Door de bouw, wordt het beeld L opgenomen in de hypervlak vergelijking ℝ Σxk = 0;
  • Een lemma van de gecombineerde elementen te suggereren dat voor elke reële M, is in OK - laat staan ​​E - een eindig aantal elementen, allemaal gecombineerd minder dan of gelijk module M.
    • Het beeld van L derhalve een discrete subgroep van deze hypervlak, dus een vrij Abelse groep rang gelijk is aan of kleiner is dan r1 + r2 - 1;
    • de kern van het lemma volgt dat L een beperkte subgroep van de multiplicatieve groep ℂ zo cyclisch en bestaat uit wortels van de eenheid. Omgekeerd, elke wortel van het toestel K duidelijk behoort tot deze kern.
    • Tenslotte -1 is een element van orde 2 van de pit, zodat het eindige groep van even-orde.

Dus reeds verkregen:

waarbij C de groep van de wortels van eenheid in K.

Maar veel van het bewijs van de stelling is te zien dat r groter dan of gelijk aan. Dit wordt gedaan met behulp van de stelling van Minkowski en eigenschappen van de ideale klasgroep.

Het bewijs dat ≥ R1 + R2 r - 1

Laat:

  • De basis volume V Σ netwerk;
  • echt groot genoeg zodat het convexe cj strikt groter volume 2V;
  • a1OK, ..., Anok de belangrijkste standaard idealen is toegenomen in absolute waarde van c;
  • y1, ..., YR1 + r2 werkelijke gedefinieerd

Vervolgens:

  • Stelling van Minkowski er een element OK als een niet-nul;
  • we afleiden dat. Het element is daarom de aku1 formulier voor sommige k ≤ N en enkele eenheid U1;
  • per definitie y2, ..., YR1 + r2 hebben we :.

Geconstrueerd hetzelfde voor alle i van 2 tot R1 + R2 - 1, Eenheid ui. Dus voor elke i van 1 tot r1 + r2 - 1, de som van r1 + r2 De componenten van de vector is nul en alle strikt negatieve behalve de ie. Hieruit volgt dat de vierkante matrix van grootte r1 r2 + - 1 verkregen door het aanbrengen van deze vectoren in rijen en verwijderen van de laatste kolom strikt diagonaal dominant derhalve omkeerbaar, zodat, ..., L) vrij.

Extensies

De schaarste aan eenheden wordt gemeten door de fundamentele omvang van het beeld L. volume gelijk is aan R√r + 1, waarin R de controller K, de absolute waarde van de determinant van elke vierkante matrix grootte r verkregen door in de lijnen van een basisvectoren r Im en verwijderen van een kolom.

Bovendien is de berekeningsgrondslag voor het vrije deel van de groep van eenheden is effectief, maar gezichten in de praktijk computationele complexiteit wanneer de R1 + 2R2 mate van de uitbreiding K toeneemt.

De stelling geeft generalisaties op verschillende gebieden: studie van de S-eenheden van de Groep, voor een reeks S van het grootste idealen, dat wil zeggen, grosso modo, het materiaal voor de volgende onderdelen allemaal factoren zijn omkeerbaar, behalve een voorgeschreven aantal; of tekens aan de werking van een Galois groep op deze groepen van eenheden.

Opmerking Referenties

  • ↑ Geïnspireerd door Gerald J. Janusz, algebraïsche Aantal Fields, Academic Press, coll. "Zuivere en Toegepaste Wiskunde," 1973, 3 ed., P. 58-61
  • Pierre Samuel, algebraïsche getaltheorie
  • Dit artikel is geheel of gedeeltelijk van het artikel in het Engels getiteld "Dirichlet de unit stelling".