Dirichlet voorwaarden

In de analyse, Dirichlet stelling is een tijdige convergentie resultaat Fourier-serie.

Een eerste versie van de stelling is bewezen door Dirichlet in 1829. Zonder een adequate theorie van integratie bewijs Dirichlet verwacht te verwerken dat in plaats van speciale functies.

De stelling zal worden gegeneraliseerd door Jordan in 1881 om de zaak van alle functies "lokaal begrensd variatie" omvatten.

Verkondigd

Ƒ is een lokaal integreerbare functie en 2π periode. Ofwel x0∈. Aangenomen wordt dat

  • ƒ toegeeft beperkingen aan de rechts en links op x0, en ƒ ƒ beoordeeld;
  • er zijn α & gt; 0 zodat de volgende integralen convergeren

Dan convergeert de Fourier-reeks van ƒ bij x0 en geeft toe beperken

Stelling geldt met name wanneer de functie afgeleid rechts en links op x0, of als klasse stukken.

Demonstratie

Het bewijs van de stelling is gebaseerd op het feit dat het Fourier-reeks wordt berekend door convolutie met een goniometrische polynoom met opmerkelijke eigenschappen: de Dirichlet kernel.

Het maakt gebruik van de tweede schrijven van de Dirichlet kernel

Dit schrijven is dicht bij de toepassing van de Riemann-Lebesgue stelling, maar de functie niet integreerbare a priori dichtbij 0. Derhalve vormen

Vervolgens met behulp van de gemiddelde waarde van Dn Dirichlet kernel we de constanten in de integrale:

Dit keer is de stelling van toepassing is. Dus de term heeft een zero limiet.