Breuksplitsing

In wiskunde, vooral algebra, de breuksplitsing een rationeel fractie zijn uitdrukking als de som van een veelterm en fracties J / H waarbij H een irreducibele polynoom en J een polynoom van graad strikt kleiner dan H. Deze afbraak wordt gebruikt in calculus onderzoek primitieven geassocieerd rationale functie te vergemakkelijken. Het wordt ook gebruikt om de inverse Laplace transformaties te berekenen.

Bepaal welke polynomen irreducibele scalaire afhankelijk van het lichaam ongebruikt. Dus als de complexe getallen worden gebruikt, alleen de eerste-orde polynomen irreducibele. Als we ons beperken tot reële getallen, zullen de onherleidbare veeltermen van graad 1 of 2. Als het wordt beperkt tot de rationale getallen, kunnen we onherleidbare veeltermen willekeurige mate te vinden; Het is hetzelfde over eindige velden.

Verkondigd

Op elk lichaam

Stelling van het bestaan ​​en uniciteit Laat K zijn een veld. Elke rationale functie heeft een unieke breuksplitsing, dat wil zeggen als een som van een polynoom T genoemd onderdeel F en J / H H irreducibele fracties geheel getal groter of gelijk aan 1 en k deg & lt; deg. Bovendien, als Q geeft de factorisatie F dan de ontleding van de vorm wil zeggen dat de enige J / H met eindige J die lijken op H gelijk aan een van de reduceerbare delers Qk en minder dan of gelijk aan de volgorde van veelzijdigheid.

Deze stelling zal hieronder worden gedemonstreerd. Merk op dat volgens uniciteit, indien de irreducibele factoren Q H nog steeds op een irreducibele extensieveld L K, dan is de ontleding van F L gelijk is K; typisch: als F reële coëfficiënten en de noemer verdeeld over ℝ, dan zijn ontbinding op ℝ en ℂ zijn identiek.

Op het gebied van complexe

Wanneer K = ℂ elke onherleidbare polynoom H heeft graad 1 en tellers eenvoudige elementen J J / H zijn constant. De algemene stelling hierboven aldus herschreven hier:

Stelling Een rationele fractie een unieke breuksplitsing, dat wil zeggen als een som van een veelterm en T fracties a / a en complex z en k een geheel getal groter of gelijk aan 1. Wanneer Q toe factorisatie F dan de ontleding van de vorm wil zeggen dat het alleen / met een niet-nul moet verschijnen zijn voor z gelijk is aan een paal en Fk kleiner dan of gelijk aan zijn beschikking.

Op het gebied van onroerend

De onherleidbare veeltermen met reële coëfficiënten H zijn de eerste of tweede graad. Tellers J eenvoudige elementen zal dus constant of lineair, respectievelijk. Traditioneel, in dit geval, de D / T resten worden respectievelijk eenvoudige elementen van de eerste soort en de tweede soort eenvoudige elementen.

Voor K = ℝ, boven de algemene stelling is daarom herschreven:

Stelling Elke rationale functie heeft een uniek breuksplitsing. Als Q toegeeft factorisatie

waarbij de polynomen geen reële wortel dan de ontleding van F van de vorm

waar en zijn reële getallen.

Toepassingen

De breuksplitsing van een rationele fractie de belangrijkste motivatie berekenen primitieven corresponderende rationale functie over een interval van ℝ die geen paal.

Inderdaad, het is niet algemeen bekend ieder rationeel functie direct geïntegreerd op een bepaald interval. Er zijn echter werkwijzen om eenvoudige elementen te integreren. Bijvoorbeeld, rationeel integreren eenvoudig ontleden in de vorm en door direct integreren van de som wordt verkregen.

Een ander klassiek voorbeeld is de serie sommatie, zoals na breuksplitsing, zien we de opkomst van een telescopische bedrag, om te concluderen dat.

Algemene Technieken

Het "leven" van het bewijs van de algemene stelling geeft een algoritme, maar andere methoden effectiever zijn. Sommige technieken zijn van toepassing indien Q wordt verdeeld, wat altijd het geval op het gebied van complexe.

Integer deel

U kunt altijd het hele gedeelte direct T P / Q, voor Euclidische afdeling van P altijd Q. Het is bekend dat er een uniek paar veeltermen T en R als T = P × Q + A met deg vinden & lt; deg. De rationele breuk kan worden geschreven en dat de som van eenvoudige elementen J / H van de ontleding F.

De polynoom t is nul als de hoeveelheid P reeds strikt lager dan Q, en anderszins,

Eenvoudige pole

Z een eenvoudige pool van F = P / Q, dat wil zeggen een eenvoudige wortel van Q. De Q polynoom wordt dus bij B B ≠ 0. Een effectieve methode geschreven direct bepalen coëfficiënt eenvoudige element wordt geassocieerd met de zogenaamde vermenigvuldigen en vervanging: door het isoleren van het element te bepalen, wordt F inderdaad priori geschreven:

dus door deze twee rationele fracties vermenigvuldigen met x - z:

Vervolgens, bij het evalueren z:

waarbij Q 'is de afgeleide van de polynoom Q.

In het eenvoudigste geval waarin Q gesplitst en simpele wortels, deze techniek volledige ontleding van F. Twee voorbeelden, in het lichaam van verschillende karakteristieke geldig vanaf 2 en 3.

Voorbeeld met twee eenvoudige polen:

Gedetailleerde berekeningen

In dit eerste voorbeeld, het gehele deel niet nul. Geïsoleerd door Euclidische deling van x door x - 1:

en blijft ontleden

= Q Dus deze fractie geeft twee eenvoudige polen: 1 en -1.

We afleiden dat G kan worden geschreven als:

De bovenstaande algemene werkwijze geeft = 1/2 en b = -1/2.

Men kan ook voortvloeien één van de twee waarden van elkaar door gebruik te maken van de pariteit: dus G = G

zodat b = -a.

Bijvoorbeeld met vier eenvoudige polen:

Maximumindex coëfficiënt gekoppeld aan een meervoudige pole

Z is een wortel van orde n de noemer van F = P / Q. De polynoom Q is dus bij B B ≠ 0 geschreven.

De vorige methode voor n = 1 wordt veralgemeend (vermenigvuldigd en vervolgens in z geëvalueerd) en te berekenen, niet direct de eenvoudige elementen ak n / z geassocieerd met, maar van de index n. Zo vinden we:

Eliminatie van een enkel element van de maximale index

Als F = P / H met onherleidbare en niet delen B en als de enige J / H-element is al berekend door de F, komt het neer op een eenvoudige breuk te ontbinden vanwege HB noemer.

Voorbeeld:

Gedetailleerde berekeningen

Neem aan dat K niet kenmerkend 2 of 3 So 2 is eenvoudig en gemakkelijk basiselement is geassocieerd 7 /. Het ontneemt F wordt teruggebracht tot een gemeenschappelijke deler, en x is vereenvoudigd - 2: Deze nieuwe fractie geen enkel element als de noemer verdeeld over K, maar het is gemakkelijker te breken: 2 is de meeste pole.

Herhalen een onherleidbare factor

In het geval dat de deler heeft een irreducibele factor hoog H tot de macht van n groter is dan 1, een werkwijze voor het bepalen van eenvoudige elementen J / H leden is, na het isoleren van hun som R / H, af te breken achtereenvolgens Euclidische afdelingen H.

ℝ voorbeeld:

Gedetailleerde berekeningen

Met de onherleidbare factor van de tweede graad x + 1 in de noemer in gedeeltelijke fracties ontleding van het formulier

De coëfficiënt verband met eenvoudige pole a = 1. Het kan de overeenkomstige eenvoudige element te elimineren: Een euclidische deling door x + 1 van de resulterende teller geconcludeerd:

Eenvoudige elementen geassocieerd met multiple pole

We kunnen de maximale index van enkel element gekoppeld is aan een paal berekenen en vervolgens elimineren, en berekent alle en stap voor stap. Maar de volgende techniek is veel uitgebreider.

Bijvoorbeeld voor een rationele functie van de vorm

waarin z een pool van orde 3 (dwz B ≠ 0), het bepalen van de coëfficiënten van de drie eenvoudige elementen geassocieerd met de paal geschiedt door het uitvoeren van de verandering van de variabele y = x - z. Het residu wordt geschreven

Een verdeling volgens oplopende bevoegdheden P0 door B0 biedt drie coëfficiënten a, b, c en een polynoom zoals R0

of:

Terugkerend naar de uitgangsvariabelen, krijgen we de eenvoudige elementen geassocieerd met z, en de resterende fractie te ontleden waarbij z niet langer een stang;

Identificatie coëfficiënten

Om te bepalen welke van de coëfficiënten van T en J in de J / H, n nog niet bepaald door werkwijzen andere factoren werkwijze is altijd mogelijk om tot een gemeenschappelijke noemer de rechterzijde van de ontleding en identificeren coëfficiënten in de tellers. Dit leidt tot een systeem van lineaire vergelijkingen op te lossen in n onbekenden. Dit systeem van n vergelijkingen of meer, heeft een unieke oplossing als de reeds vastgestelde coëfficiënten juist waren. Een variant van een dergelijk systeem is de twee leden van x n waarden verschillende polen van F. beoordelen

Deze methode is alleen effectief als n klein is.

Voorbeeld:

Gedetailleerde berekeningen

Het is hier dat de sterkste hypothese -3 geen plein K. Bedenk dat en dat de coëfficiënt verband met eenvoudige pole 7. polynoom x + 2 = 2x + 4 + 3 onherleidbaar door hypothese K. De ontleding van F in enkelvoudige elementen de formeet blijft scalaire a en b.

  • Door het verminderen van één noemer, en door het identificeren, een leidt tot het systeem: de oplossing is a = b = 3 en 4.
  • Door het vervangen van x in de vergelijking door 0 en 1, het lineaire systeem van vergelijkingen met twee onbekende 2 wordt verkregen: en omvatten: b = 4 en a = 3.

Met behulp van pariteit

Zoals in het eerste voorbeeld hierboven elk pariteit of ongelijkheid van F vermindert het aantal coëfficiënten te bepalen. Bijvoorbeeld, als z een pool van orde n en als F even of oneven, dan is z een pool van orde n en uniciteit van de ontleding, de eenvoudige elementen gekoppeld, zijn afgeleid van de geassocieerd met z van

Specifieke technieken

Passage door complexe

Werkwijze voor de ontleding van een echte breuk Vrouw ℝ voorbeeld een op ℂ gebruiken. Sterker nog, door dezelfde redenering als in § "Het gebruik van pariteit" als z is een orde van niet-echte pole z n dan is het conjugaat ook, en de coëfficiënten van eenvoudige elementen die ermee verbonden zijn die conjugaten geassocieerd met z; bovendien de som van deze eenvoudige elementen,

is een echte rationeel, gelijk aan de som van n reële eenvoudige elementen van de tweede soort geassocieerd met irreducibele werkelijke factor van orde n van Q.

Deze methode is vooral handig als n = 1 de som van twee complexe eenvoudige elementen geassocieerd met twee enkelpolige enkele gecombineerde geeft het overeenkomstige echte element.

Voorbeeld:

Gedetailleerde berekeningen

Het bepalen van de coëfficiënten a, b, c geassocieerd met eenvoudige palen, de hoogste technische view in § "eenvoudige Pole" of van § "Case van noemer met een paal of order" hieronder P / Q '= 1 / x dus

SUM we twee gecombineerde eenvoudige elementen:

Als n & gt; 1, hoeft u alleen aan toevoegen dat deze methode van § "Herhaalde een onherleidbare factor."

Als een noemer met een pool van orde

§ Voorbeelden van "eenvoudige Pole" kan worden gegeneraliseerd naar de volgende locatie op een willekeurige K:

Q is een monische veelterm van graad n waarvan afbraak is onherleidbaar factoren

waarbij alle elementen van K zijn verschillende twee aan twee. Met andere woorden: Q wordt verdeeld over K en simpele wortels. Indien P een willekeurige polynoom van graad strikt kleiner dan n, door Lagrange interpolatie formule kan uniek worden geschreven als een som

waar is de j-de Lagrange polynoom in verband met:

P / Q van de ontbinding wordt afgeleid door eenvoudige elementen:

Bestaan ​​en uniciteit van elk lichaam

De algemene stelling van het bestaan ​​en uniciteit vloeit voort uit de volgende lemma.

Lemma Elke rationele breuk P / H met reduceerbare en delende B, is uniek geschreven in de vorm

In het bijzondere geval B = 1, het polynoom S aldus verkregen lemma T het gehele deel van de breuk.

Dit lemma wordt direct afgetrokken van Hulpstellingen 1 en 2 onder de gevolgen van het feit dat de ring van polynomen over een veld Euclidische met unieke karakter van de verdeling.

Lemma 1. rationele breuk P / B met A en eerste onder hen uniek geschreven in de vorm

Lemma 2 Elke rationele deel van het formulier R / H, met deg & lt; deg, is geschreven op een unieke manier

Bewijs van Lemma's 1 en 2
  • Problemen P / = R / A + S / B bedraagt ​​oplossen P = BR + SA, dat wil zeggen, een polynoom R klikken dat P - BR deelbaar is door A. identiteit Bézout biedt veeltermen U en V zodanig dat 1 = AU + BV biedt dus al een oplossing: R0 = VP. De oplossingen worden vervolgens alle R als verdeelde - = B, dat wil zeggen de R zodanig dat R 0 - R een veelvoud van A, en er is één die strikt lagere graad dan A het overige de Euclidische deling door R0 A.
  • Gewoon herhalen de volgende noot, verkregen door Euclidische deling van R H: Elke rationele fractie van de vorm R / H, met n & gt; 0, is geschreven unieke J / H + L / H met deg & lt; deg.
    Bovendien, als deg & lt; deg deg dan & lt; deg.

Integer fracties

Het idee breuksplitsing kan worden uitgebreid tot andere Euclidische ringen, bijvoorbeeld gehele getallen, waarbij de eerste nummers speelt de rol van unitaire irreducibele polynomen. Alles is rationeel som van een integer en fracties met noemers die prime bevoegdheden. We zelfs uniciteit van de ontleding, wanneer men stelt dat elk noemer p slechts één keer, en de bijbehorende teller tussen 0 en p - 1. Bijvoorbeeld:

Het "integraal deel" van deze fractie is het gehele getal -1, terwijl de volle rol in de gebruikelijke zin is 0.

Notitie

  • ↑ Voor n & gt; 1, de som van twee complexe geconjugeerde eenvoudige elementen is een rationele functie met reële coëfficiënten, die niet noodzakelijkerwijze een enkel element. Voorbeeld :.