Bramble-Hilbert lemma

In de wiskunde, met name in de numerieke analyse, Lemma Bramble-Hilbert, waarin de namen van James H. Bramble en Stephen Hilbert draagt, alleen geeft de fout van de aanpassing van een functie door een polynoom van geen orde op basis van derivaten van orde. De fout van de aanpassing en afgeleide normen worden gemeten op een begrensd gebied. Lemma ligt vlakbij een klassieke resultaat numerieke analyse, die bijvoorbeeld, dat de fout van een lineaire interpolatie worden beperkt met behulp van de tweede afgeleide. Echter, de Bramble-Hilbert lemma geldt voor elk aantal dimensies, en niet alleen voor één dimensie, en de onderlinge fout en de afgeleide gemeten door ruimere normen met gemiddelden, en niet alleen de norm van uniforme convergentie.

Aanvullende aanname op het veld zijn noodzakelijk om de geldigheid van de Bramble-Hilbert lemma. In de eerste plaats moet het domein grens "redelijk" zijn. Zo worden gebieden die een punt of een kast met een hoek nul wordt uitgesloten. De Lipschitz domeinen voldoende redelijk. Ze zijn voorzien van convexe en gebieden met een continu differentieerbare grens.

De Bramble-Hilbert lemma wordt voornamelijk gebruikt om de grenzen van de functie interpolatie fout te vinden door een operator die veeltermen behoudt van de bestelling bij de meeste, afhankelijk van derivaten van bestelling. Dit is een essentiële stap in de schattingsfouten van de eindige elementenmethode. De Bramble-Hilbert lemma wordt vervolgens toegepast op het gebied bestaande uit een enkel element.

De eendimensionale case

Bij een afmeting en een functie die afgeleid over een interval, wordt gereduceerd tot het lemma

waar is de ruimte van alle veeltermen van de bestelling bij de meeste.

Wanneer, ,, en tweemaal differentieerbare, Lemma betekent dat er een polynoom van graad zodanig dat voor elke,

Deze ongelijkheid dan volgt uit bekende wijze van de geschatte fout van een lineaire interpolatie door als de lineaire interpolatie.

Verkondigd

Laten een begrensd domein in ,, met een rand en een diameter. is de ruimte Sobolev alle functies partiële afgeleiden in de zwakke zin om. Hier, is een multi-index en notities afgeleid vouw over, vouw over, en ga zo maar door. De seminorm Sobolev bestaat uit normen afgeleid van de hoogste orde,

en

is de ruimte van alle polynomen van orde maximaal op. Merk op dat voor alle en. Heeft dus dezelfde waarde voor alle.

Lemme Onder aanvullende aanname op het veld, hieronder aangegeven, is er een constant onafhankelijk van en zodanig dat voor er een polynoom zodanig dat voor alle

Het origineel resultaat

Lemma werd bewezen door Bramble en Hilbert in de veronderstelling dat de sterke eigenaarschap van de kegel voldoet; dat wil zeggen dat er een open bedekking klaar overeenkomende kegel met hoekpunt aan de oorsprong zoals die worden opgenomen in alle.