Borel paradox

De Borel paradox is een paradox van kansrekening in verband met de conditionele kansen en waarschijnlijkheid dichtheden.

Stel we hebben twee willekeurig variabelen, X en Y, gezamenlijke kansdichtheid pX, Y. We kunnen de voorwaardelijke dichtheid van Y gegeven X trainen,

pX dat is de juiste marginale verdeling.

De stelling van verandering van een variabele, kunnen we de gezamenlijke verdeling met functies U = f, V = G ingesteld en kan vormen dan de voorwaardelijke dichtheid van V kennen U.

Gegeven een bepaalde aandoening op X en de equivalente conditie op U, intuïtie suggereert dat de voorwaardelijke dichtheden pv | X en PV | U moet identiek zijn. Dit is niet het geval in het algemeen.

Een concreet voorbeeld

Een uniform recht

Laat de gezamenlijke kansdichtheid

De marginale dichtheid X berekend

Dus de voorwaardelijke dichtheid van Y gegeven X

die uniform langs y.

Nieuwe instelling

Nu gelden de volgende transformatie:

Met behulp van de stelling van de verandering van de variabele, krijgen we

De marginale verdeling wordt berekend en is gelijk aan

Dus de voorwaardelijke dichtheid weten V U is

die niet uniform naar v.

Het niet-intuïtieve resultaat

Op basis van het voorgaande, we

Het equivalent voorwaarde in de uv coördinatensysteem U = 1, en de voorwaardelijke dichtheid info V U = 1 is

Paradoxaal, V en X = Y = 0 is hetzelfde als U = 1, maar