Bolle romp

De bolle romp van een voorwerp of een verzameling van geometrische objecten de convexe set is tenminste onder degenen die deze gegevens bevatten.

In een vlak, kan het convex omhulsel te vergelijken met het gebied begrensd door een elastisch alle punten wordt pas vrijgegeven krimpt tot de maximale omvat. Het idee is hetzelfde in de ruimte met een ballon die leeglopen in contact met de punten die op het oppervlak van het convex omhulsel.

Definitie en basiseigenschappen

Er wordt aangenomen dat in een context waarin het concept van de convexe deelverzameling heeft een betekenis, en we merken het E geometrische kader waarin we plaatsen.

Definitie Zij A een deelverzameling van E. De bolle romp van A is de kruising van alle convexe subsets van E met A.

Deze definitie is zinvol, aangezien er ten minste één convex gedeelte E met A, zich namelijk E.

In deze definitie en het feit dat elke kruising van convexe sets is een convexe set, afleiden dat we de volgende karakterisering van de bolle romp.

Het voorstel: Een convex romp is de kleinste convexe deel E met A.

Verder uitgewerkt, dit resultaat karakteriseert de convex omhulsel Conv als enige deelverzameling van E die de volgende drie eisen voldoet:

  • Conv is rond;
  • A is bij Conv;
  • Als C is een convexe deelverzameling van E met A, dan Conv opgenomen in C.

Beschrijving in termen van centroïden

In de rest van deze sectie, nemen we aan dat E is een echte affiene ruimte. We kunnen dan staat:

Het voorstel bolle romp van A is de verzameling van convexe combinaties van punten van A. gezinnen

Met andere woorden, de elementen van de bolle romp van A zijn exact punten x E we kunnen schrijven in de vorm:

Het geval van eindige dimensie: een stelling Carathéodory

De bovenstaande verklaring kan worden verbeterd door eindige afmeting, zoals opgemerkt door Constantin Carathéodory in 1907. Als we aanduiden met n de afmeting E, de stelling toestanden die kunnen worden gebruikt p zwaartepunten punten louter het geval p = n + 1 voor alle convex omhulsel reconstrueren. Zo is in een vliegtuig, gegeven A, mentaal construeren van een bolle romp van zonwering in gedachten al de driehoeken hoekpunten in A; in dimensie 3 worden gebruikt tetraëders, enzovoort.

De stelling kan precies hoe worden vermeld:

Stelling In een affiene ruimte van dimensie n, de bolle romp van een deelverzameling A een aantal convexe combinaties van families van n + 1 punten A.

Zodra bekend is deze verklaring, is het gemakkelijk om een ​​belangrijk uitvloeisel af te leiden:

Uitvloeisel In een eindig dimensionale affiene ruimte, de bolle romp van een compacte is compact.

n∈ℕ, volgende n∈ℕ limiet 0 en vormen een compacte, waarvan de bolle romp is niet zelfs gesloten.)

Algoritmische Aspecten

2D

Verschillende algoritmen bedacht om dit probleem op te lossen, complexiteit varieert:

  • wandelen Jarvis, O, n het aantal punten van de bolle romp;
  • Natuurlijk Graham, O;
  • heuristische Akl-Toussaint;
  • met het Voronoi-diagram, O: met betrekking tot de convex omhulsel definieert geopend Voronoi cellen volstaat om deze cellen te detecteren en verbinden de zaden van aangrenzende cellen.

Afmetingen van superieure bestellingen

Voor een eindige verzameling punten, de bolle romp is een convex veelvlak. Echter, de voorstelling is niet zo eenvoudig als in het geval van het plan. Voor afmetingen strikt groter dan 2, zelfs wanneer de randen van het veelvlak bekend de constructie van de facetten is geen triviale taak. Een aantal algoritmes nog bekend aan de dimensie 3, maar ook in het algemene geval.