Binomium

In de kansrekening en statistiek, de binomiale verdeling en de discrete kansverdeling dat modellen het aantal successen in een herhaling van dezelfde onafhankelijke willekeurige experimenten waarbij de kans op succes van elke ervaring evenaart. Een visuele manier om deze reeks experimenten vormen is een kansboom gebruikt: elke generatie van de boom, waardoor twee takken van elk knooppunt een voor succes en wegens.

Meer mathematisch Voor elk experiment genaamd Bernoulli-experiment van een willekeurige variabele wordt gebruikt waarbij de waarde 1 duurt een succes en de waarde 0 op andere wijze. De willekeurige variabele som van al deze willekeurige variabelen, telt het aantal succesvolle en is binomiale. Het is dan mogelijk om de kans op succes te vinden in een herhaling van experimenten:

Deze formule houdt de binomiaalcoefficient dat de naam van de wet.

Het belang van deze wet is het eerste sinds de geschiedenis gemakkelijk kan worden gesimuleerd door een reeks van munt gooit, bijvoorbeeld. De berekening van de massafunctie al snel vervelend wanneer groot is, is het mogelijk onderlinge gebruik door andere waarschijnlijkheidsverdelingen zoals Poisson en normale verdeling en gebruikstabellen waarden. Wanneer benaderingen, convergentie stellingen van toepassing in het geval van de stelling van de Moivre-Laplace, historisch voorloper. Deze stellingen zijn de basis voor vele toepassingen, met inbegrip van statistische tests.

Historisch

De binomiale verdeling is een van de oudste bestudeerde kans wetten. Ze werd ontdekt door Jacques Bernoulli die het gebruikt in 1713 in zijn boek Ars conjectandi. Tussen 1708 en 1718 de multinomiale verdeling, de negatieve binomiale verdeling en de aanpassing aan het binomiale verdeling door de Poisson wet, de wet van de grote getallen voor de binomiale verdeling en een benadering van de staart van de binomiale verdeling worden ontdekt.

Door de uitdrukking van zijn massa functie, werd de binomiale verdeling gebruikt door wetenschappers om verschillende fenomenen te bestuderen. Dit is het geval van Abraham de Moivre die erin slaagt om een ​​benadering van de binomiale verdeling van de normale verdeling te vinden, hij voor het eerst zijn resultaten publiceerde in 1733 in het Latijn: Approximatio ad Summam terminorum Binomii in Seriem Uitbreid vervolgens vertaalt naar gepubliceerd in 1756 in de leer van Kansen. In 1812, Pierre-Simon Laplace hervatten dit werk. Francis Galton schiep de Galton boord, die een fysieke representatie van deze convergentie biedt. In 1909, Emile Borel stelt en bewijst bij de binomiale verdeling, de eerste versie van de sterke wet van de grote getallen.

Recenter, in 1914, McKendrick blijkt dat de binomiale verdeling is de oplossing een eenvoudig proces van geboorte en emigratie. Op basis van het werk van William Feller in 1957, kan de wet ook worden gezien als de stationaire verdeling voor het model Ehrenfest urnen. Dat zelfde jaar, Haight blijkt dat de binomiale verdeling is gekoppeld aan een wachtrij probleem.

De binomiale verschijnt in vele toepassingen in de twintigste eeuw: in de genetica, biologie, plantenecologie, voor statistische tests in verschillende fysische modellen zoals telefoonnetwerken of model Ehrenfest urnen, enz.

De naam van deze binomiale wet behoort tot het schrijven functie van zijn massa die een binomiaalcoefficient afgeleid van de binomiale uitbreiding bevat.

Intuïtieve definition

De wet van Bernoulli beschrijft het gedrag van een willekeurige gebeurtenis heeft twee mogelijke resultaten. Beide resultaten worden traditioneel genoemd succes en mislukking. Een dergelijk experiment wordt een Bernoulli-experiment genoemd. Bijvoorbeeld, tijdens een run van kop of munt, kunnen we overwegen om het gezicht is een succes en krijgt de batterij faalt. In dit model, de kans op succes is een vaste waarde, dat wil zeggen welke constant op iedere vernieuwing van de willekeurige ervaring blijft.

Beschouw de situatie waarin dergelijke willekeurige experiment wordt herhaald aantal malen onafhankelijk; mee dat aantal keren. Deze herhaling van onafhankelijke Bernoulli-proeven wordt een schema of gewoon Bernoulli Bernoulli proeven. De binomiale beschrijft hoe vaak het succes wordt op de uitgevoerde experimenten. Het aantal successen is een willekeurige waarde, de binomiale verdeling wordt beschreven door de kans gegeven dat succes verschijnt precies één keer op de tests.

Met behulp van het voorbeeld van de munt, als je gooit vijf keer de kamer, de binomiale verdeling beschrijft de kans dat er 0, 1, 2, 3, 4 of 5 succes ..

Wiskundige definitie

De binomiale verdeling is een discrete kans wet met twee parameters: en. Het is gebruikelijk om de parameter vervangen beknopter uitdrukkingen. Verschillende gelijkwaardige definities worden gebruikt om de binomiale verdeling.

Definitie 1 De binomiale verdeling parameters en de kansverdeling van een willekeurige variabele gelijk is aan het aantal successen tijdens een repetitie van Bernoulli, waarbij de kans van een gebeurtenis Bernoulli.

Definitie 2 De binomiale verdeling parameters en de kansverdeling van een willekeurige variabele dat:

die onafhankelijke random variabelen Bernoulli verdeling van de parameter.

Definitie 3 De binomiale verdeling en instellingen, is de discrete kansverdeling van een willekeurige variabele met massa-functie wordt gegeven door:

De massa functie gegeven in de definitie 3 heeft een betekenis omdat de formule van de binomiale stelling geeft :. Definitie 2 is de wiskundige schriftelijk definitie 1.

3 De definitie gelijk aan de andere twee: berekenen we expliciet de kans dat succes opgenomen in trials. Aangezien repetities zijn onafhankelijk, de kans op succes en falen is dus: in het geval waar het gaat voorbij de plaats van uitvoering. Je hoeft alleen geïnteresseerd in de rol van de successen en mislukkingen te zijn. Dat wil zeggen, hoeveel heeft hij zette zo populair onder de resultaten? Dit is het aantal combinaties van elementen als de elementen van de binomiaalcoefficient. Dan vinden we de massa-functie definiëren 3.

Een willekeurige variabele die een binomiale verdeling volgt en wordt opgemerkt :; of.

Aangezien de binomiale verdeling is een discrete handeling, kan men dankzij definiëren zijn waarschijnlijkheidmaat:

Vertegenwoordiging in de vorm van een schacht

Aangezien de binomiale verdeling is een opeenvolging van Bernoulli, is het mogelijk haar te vertegenwoordigen met een kansboom: elk knooppunt is een test van Bernoulli, worden positieve en negatieve vertegenwoordigd door een linker en een rechter tak tak. De grafiek is een gebalanceerde binaire boom. Een boom die generaties komt overeen met een binomiale verdeling.

Als we tonen de resultaten van elke test Bernoulli aan de randen van de structuur, kan weergeven anders de binomiale verdeling. Als dit de waarschijnlijkheid van de waarden die op de randen, dan is de waarschijnlijkheid van de binomiale verdeling verschijnen uiteinden van de takken.

De grafiek is een kans boom voor een binomiale parameter. Op elke tak krijgen de kans op verschillende uitkomsten, zoals takken rechts, links en rechts; dat wil zeggen, falen, succes en mislukking. Aan het einde van de takken van de boom verschijnen de waarschijnlijkheid van elk resultaat van de binomiale verdeling. Dat wil zeggen dat de waarden of verkregen ,, en. We vinden dus verschillende binomiale coëfficiënten:

Properties

Moments

De momenten van de binomiale verdeling worden verkregen door middel van expliciete berekeningen met momenten van een willekeurige variabele met binomiale verdeling:

De volgende formule is een herhaling formule om de tijd te krijgen. De term verwijst naar de afgeleide naar de variabele.

Reverse tijden, dat wil zeggen met zijn oneindig.

De centrale momenten zijn de momenten van het verschil tussen de variabele en het gemiddelde.

De variantie van meningsuiting geeft de standaarddeviatie.

In 1923, Romanovsky geeft een herhaling formule om gecentreerd momenten krijgen.

De gemiddelde afwijking van de gemiddelde afwijking van het gemiddelde, wordt gegeven door waarbij het gehele deel van. In 1960 werden hogere niveaus bestudeerd door Katti.

Dankzij de bovenstaande formules wordt verkregen maal de frequentie van het succes:

De expressie van de variantie van de frequentie geeft de standaarddeviatie van de frequentie van succes,

Twee willekeurige variabelen wordt beschouwd en niet noodzakelijk onafhankelijke binomiale respectieve wetgeving. De covariantie evalueert de afhankelijkheid tussen de twee variabelen:

Eigenschappen en karakteriseringen

  • De scheefheid van een binomiale verdeling is :. De asymmetrie van de binomiale verdeling is positief als en als negatieve. De wet is symmetrisch als en slechts als.
  • De mediaan is de binomiale verdeling of het teken staat voor het gehele deel. Deze waarden zijn verkregen met de formule :.
  • De wijze van de binomiale verdeling waarde, is de waarde groter waarschijnlijkheid.

Merk op dat als een geheel getal is, dan is de modus, gemiddelde en mediaan gelijk aan de waarde.

  • Als een binomiale verdeling, dan volgt een wet. Deze symmetrie levert de volgende relatie voor de distributie functie en de massa-functie: en.
  • Als de willekeurige variabelen zijn binomiale respectieve wet- en vervolgens de willekeurige variabele binomiale. Deze eigenschap kan worden verkregen via de expressie van de eigenschappen of functies door middel van het schrijven als een som van Bernoulli variabelen.
  • Ongelijkheid Chebyshev-BIENAYMÉ voor een willekeurige variabele het binomiale verdeling wordt bereikt door de tijden:
  • Ongelijkheid Hoeffding voor een willekeurige variabele wet is nauwkeuriger dan de ongelijkheid van Chebyshev-BIENAYMÉ is geweldig als er staat geschreven:
  • De Kolmogorov ongelijkheid is geschreven voor een som van onafhankelijke random variabelen. Voor onafhankelijke random variabelen de wet van Bernoulli, de som van een binomiale verdeling heroriëntatie van de Ongelijkheid is dan:
  • In 1964, een speciaal geval van een stelling Patil en Seshadri luidt: indien de voorwaardelijke verdeling weten een hypergeometrische distributieparameters en, en vervolgens na binominale wetten van de respectieve parameters en welke willekeurig.
  • In 1973, Kagan, Linnik en Rao geven verschillende karakteriseringen overweegt willekeurige wandelingen op een stap binomiaal netwerken met Markov downtime.
  • In 1991, Ahmed blijkt dat een willekeurige variabele volgt een binomiale stochastische variabele als en slechts als waarheen.

Distributiefunctie

De verdelingsfunctie van een willekeurige variabele na binomiale verdeling wordt gegeven door:

die het gehele deel van.

Zelfs als er een uitdrukking van de verdelingsfunctie, de berekening niet eenvoudig vanwege de binomiale coëfficiënten, vooral bij groot. Dan zijn er tafels van waarden. Harmonisatie stellingen zijn ontwikkeld om theoretische en computationele manier dat de distributie functie te benaderen. De volgende expressie komt van de relatie tussen de binomiale en beta distributie: voor

waarbij de beta functie. is het mogelijk om de distributiefunctie schrijven vanwege de onvolledige beta functie:

Genereren karakteristieke en functies

De karakteristieke functie van een willekeurige variabele na binomiale verdeling wordt gegeven door:

Het moment genererende functie van een willekeurige variabele na binomiale verdeling wordt gegeven door:

We afleiden direct de cumulant genererende functie:

en genererende functie faculteit cumulanten:

Verhouding tot andere wetten

Bedenk dat de binomiale verdeling en het is de wet van de som van onafhankelijke random variabelen Bernoulli verdeling van de parameter.

Zo is de binomiale verdeling is een Bernoulli verdeling met parameter.

Het is door deze voorstelling van het aantal successen en fouten bij proeven na het binomiale verdeling is een bron voor vele toepassingen.

De volgende wetten zijn aan het binomiale verdeling met hun distributiefunctie. Wanneer het aantal successen is vastgesteld, geven ze de wet het aantal noodzakelijke tests of de wet van de parameter. In die zin kunnen ze als wederzijdse wetgeving.

  • De binomiale verdeling geeft het aantal successen in een reeks van onafhankelijke studies. De negatieve binomiale of Pascal de wet, is het aantal pogingen nodig is om succes te behalen. de negatieve term komt van de schrijffunctie van de massa van dat geheel een binomiaalcoefficient met een negatieve term.
  • Door het berekenen van de beta distributiewet functie gegeven door de onvolledige beta functie wordt verkregen tussen 0 en ::
  • De binomiale verdeling is gerelateerd aan het recht van Fisher door de volgende eigenschap: als Y volgt een binomiale verdeling dan voor 0 tot:
  • De afgeknotte binomiale verdeling en de binomiale verdeling met als waarden in en worden verwijderd. De massa functie van deze wet wordt gegeven door de uitdrukking: voor
  • De positieve binomiale verdeling of binomiale verdeling afgekapt op 0 is de binomiale verdeling met 0. De massa wordt verwijderd functie is. Evenzo is het mogelijk om de negatieve binomiale verdeling stellen.
  • De multinomiale verdeling is multidimensionale veralgemening van de binomiale verdeling in die zin dat de multinomiaal distributiemodellen een opeenvolging van gebeurtenissen, die elk verschillende problemen, niet alleen succes of mislukking. Deze multidimensionale wet geeft de waarschijnlijkheid van optreden van het aantal verschillende onderwerpen in een reeks van onafhankelijke proeven.
  • De kansdichtheidsfunctie van de hypergeometrische verdeling parameters wordt gegeven door :. Het komt overeen met het aantal afdrukken winnaars in een experiment gelijktijdige runs in een doos met ballen en een aantal winnende ballen.

Convergenties en benaderingen

Voor grote waarden, berekening van de massa en distributie functies snel saai worden. Een methode is om deze waarden te benaderen door middel limietstellingen. De wet van de grote getallen kan het gemiddelde van de binomiale verdeling benaderen. Om richtwaarden van de verdelingsfunctie te verkrijgen, is het mogelijk om de normale benadering of benadering te gebruiken door de Poisson verdeling. De normale benadering is efficiënter wanneer de instelling niet te dicht bij 0 of 1, anders zal de aanpassing door de Poisson-verdeling geeft betere resultaten.

Wet van de grote getallen

De wet van de grote aantallen, zwakke of sterke geldt voor de binomiale verdeling als een som van onafhankelijke random variabelen wet van Bernoulli. Voor een binomiale variabele dan:

Deze stelling toegepast op de binomiale verdeling kan worden gebruikt in het bijzondere geval van Bernoulli's theorema. Beschouw een situatie van een willekeurige experiment waarin we tellen het aantal problemen met een eigendom. Laten de verzameling van alle de problemen met deze eigenschap en het aantal successen op de expertise van herhalingen. Als het theoretische waarschijnlijkheid van de gebeurtenis als een binomiale verdeling. De wet van de grote getallen bekend:

Convergentie van de Poisson-verdeling

Beschouw een binomiale verdeling als parameters en zijn gerelateerd door de formule: waarin wordt vastgesteld. Wanneer naar oneindig, en dus de neiging om 0, dan :. Dwz de kans dat binomiale variabele neemt de waarde convergeert naar de waarschijnlijkheid dat een Poisson variabele neemt de waarde. De parameter convergeert dan 0, het overeenkomt met een zeer kleine kans evenement, is de Poisson-verdeling toenmalige wet van zeldzame gebeurtenissen. In som, verkrijgen we het resultaat:

Waar is het gehele deel, is een binomiaal variabel en Poisson. Deze limiet geeft de convergentie in de distributie van de binomiale naar de Poisson-verdeling. Een gedetailleerde expressie van de convergentie kan worden gegeven door de formule: met als naar oneindig en is de asymptotische comparator.

In 1953, Yuri Prokhorov geeft een stijging van de totale aanpassing fout tussen de distributie functie van een binomiale en Poisson. Het is ook mogelijk de verhouding tussen de twee distributiefuncties beperken.

Met de convergentie bovenstaande is het mogelijk om de waarschijnlijkheid van de binomiale verdeling benaderen de Poisson verdeling. In de praktijk het geval zijn wanneer is groot en zo klein. Verschillende waarden worden voorgesteld:

  • Waar,
  • Waar,
  • Waar,
  • ,
  • Waar,
  • en.

De gemeenschappelijke idee van al deze voorstellen is om een ​​stabiele waarde hebben wanneer is groot en klein.

Convergentie van de normale wet

De stelling van Moivre-Laplace, verklaarde in 1733, blijkt dat een willekeurige variabele met de binomiale verdeling, goed renormalized, convergeert in de distributie van een willekeurige variabele met een normale verdeling. Dit kan worden uitgedrukt door de distributiefunctie van de twee wetten. Overweeg willekeurige variabele met binomiale verdeling, wordt de willekeurige variabele de renormalized toevalsvariabele gecentreerd en gereduceerd, dat wil zeggen :. Als we geven de verdelingsfunctie van de normale verdeling, dan:

Hoewel Abraham de Moivre dit resultaat in het geval van een binomiale verdeling heeft verklaard, deze convergentie is wijdverbreid in het geval van andere wetgeving, de centrale limietstelling. In dit toelaat convergentie aanpak een discrete distributie met een doorlopende act, dan is het handig om een ​​coëfficiënt toe te voegen, zei continuïteitscorrectie, om toekomstige benaderingen te verbeteren, de vorige convergentie kan worden in de vorm van schriftelijke gelijkwaardigheid wanneer de neiging tot oneindig: voor alle

De fout van de aanpassing wordt geschat door de ongelijkheid van Berry-Esseen wiens constante gestaag verbeterd, biedt het een punt van verschil tussen de twee distributie functies is groot wanneer, voor een willekeurige variabele met binomiale verdeling en normale wet distributie functie genoteerd. Een gedetailleerde expressie van convergentie kan worden gegeven door de formule continuïteitscorrectie: uniform voor elke variabele, wanneer naar oneindig en waarbij de asymptotische vergelijking. Andere fijnere benaderingen werden bestudeerd, bijvoorbeeld door Pierre-Simon Laplace, Yuri Prokhorov of Peizer en Pratt.

Met convergentiestellingen hierboven, wanneer is groot, de kans op het binomiale renormalized kan worden benaderd door de waarden van de normale verdeling van probabiliteiten. Er zijn verschillende regels en parameters voor de benadering geldt:

  • ,
  • en.

De invloed van deze parameters op de onderlinge werd nauwkeurig onderzocht in de jaren 1990, bijvoorbeeld, de minimale absolute fout bereikt ingesteld; de absolute fout hieronder.

Tafels van de binomiale

Tafels van de functie van de massa en de binomiale verdeling functie werd gepubliceerd in 1950 door het National Bureau of Standards in 1955 en het Nationale Laboratorium van de Computation en Rao et al. in 1985.

Dankzij de symmetrie relaties, geef waarden voor tabellen.

Waarden van de wegingsfunctie

De volgende tabellen geven de waarden van de waarden van de massa-functie van de binomiale distributie voor verschillende waarden van.

naar naar naar


Waarden van de distributiefunctie

De volgende tabellen geven de waarden van de waarden van de distributiefunctie van de binomiale distributie voor verschillende waarden van.

naar naar naar

Tests en Toepassingen

Tests

In het algemeen, een statistische test om te verwerpen of geen hypothese genoemd nulhypothese. Het belangrijkste idee is om een ​​monster te nemen en indien de hypothese geldt voor elk element van het monster. Gezien het feit dat de elementen zijn onafhankelijk, dus we tellen het aantal elementen die voldoen aan een woning, dus er is de aanwezigheid van de binomiale verdeling. Vergelijken we de waargenomen verhouding aanzienlijk ver van de theoretische waarschijnlijkheid van de binomiale verdeling. Deze test heet een binomiale-test. Merk ook op dat u de normale verdeling kunt gebruiken wanneer de steekproefgrootte is groot.

Het is een statistische test op de overeenstemming van de parameterwaarden van een kansverdeling, waaronder een binomiale verdeling, de verwachte theoretische parameters voor de studie populatie. Controletests van de dispersie-index is in casu het geval is. De dispersie-index is het quotiënt van de som van de kwadraten van afwijkingen en het gemiddelde. Als bestudeerde zijn de gemiddelde waarden die tijdens de index. Met uneLoi chi-kwadraat of een normale verdeling, de test verwerpt de hypothese van de waarde die de parameter van de binomiale verdeling neemt.

Het is ook mogelijk om de gelijkheid van twee willekeurige variabelen binomiale wetten testen. Laten en worden twee willekeurige variabelen met de betreffende wetten. We willen testen of het bij de test. Door de centrale limietstelling, wordt de schatter normaal verdeeld wanneer is geweldig. Het is hetzelfde met. Gezien de ware hypothese, kunnen we laten zien dat volgt op een standaard normale verdeling. Wij verwerpen dan de hypothese op 0.95 niveau van vertrouwen wel.

Andere toepassingen

Per definitie is de som van onafhankelijke random variabelen Bernoulli distributie van een binomiale verdeling. Een typisch fenomeen na een Bernoulli de lancering van een kamer voor een toss. Het aantal successen, bijvoorbeeld het aantal keren dat de batterij wordt verkregen, dus een binomiale verdeling. Veel situaties kan worden gemodelleerd door dit voorbeeld dat het belang wet geeft.

In genetica, tijdens reproductie, elk gen heeft twee allelen die zijn afgeleid van beide ouders. Of beide allelen van dezelfde ouder, elke ouder zendt ofwel een allel. Het is dan mogelijk om een ​​lijst van verschillende allelen te merken en deze twee gevallen. Het aantal allelen van dezelfde ouder kan worden gemodelleerd door een binomiale willekeurige variabele. Om erachter te komen of er gelijke kans allel van dezelfde bron of een andere bron, kunnen we een statistische toets te bestuderen. Omgekeerd, de allelen van een simulatie, is het mogelijk om de allelfrequenties van binomiale kansvariabelen simuleren.

In de taalkunde, wordt de binomiale verdeling wordt gebruikt om de rijkdom van de woordenschat van een tekst te bestuderen. Dit is een kwantitatief hulpmiddel om de frequentie van een woord in een normaal tekst, ongeacht de lengte van de tekst. In het bijzonder de methode van Müller beoordeelt de theoretische rijkdom van de woordenschat van een tekst met de woordenschat van een langere tekst, en dan vergelijken met de rijke woordenschat van korte tekst in kwestie. Technisch, hoewel het aantal woorden in een tekst en die van andere tekst. Terwijl de kans van voorkomen van een woord in de eerste tekst willekeurig gekozen; hetzelfde voor de tweede tekst. Het aantal woorden met dezelfde frequentie van verschijning in de eerste tekst volgt een binomiale verdeling met parameters en. Het is mogelijk om statistische tests uit te voeren om te concluderen of de rijkdom van de woordenschat groot is of niet.

In 1908, Emile Borel bestudeerde de frequentie van de verschillende figuren in de decimaalontwikkeling van een reëel getal. Hij beschouwt de eerste waarde van de decimale ontleding en schat de kans op het verkrijgen van het aantal keren dat elke getal verschijnt in deze ontleding tot aanpassing van de normale verdeling. Het bewijst dus de stelling van normale getallen.

Een random walk on is een stochastisch proces in de tijd. Dat wil zeggen dat lopen vertrekt vanuit een beginwaarde, bijvoorbeeld, en elke tijdseenheid, de wandelaar verplaatst één stap met een kans of een stap terug met kans en of. geeft de positie van de rollator na een tijd. Als het lopen symmetrisch wordt genoemd en de wandelaar is net zo waarschijnlijk omhoog gaan dan omlaag. In dit geval, op keer kan de willekeurige variabele nemen waarden en binomiale. Deze overweging en de convergentie van de normale wet kan aantonen dat renormalized random walk convergeert naar Brownse beweging.