Beta functie

In wiskunde, de beta functie integraal type Euler gedefinieerd voor alle complexe getallen x en y strikt positieve reële delen door:

De beta-functie werd onderzocht door Euler en Legendre en werd genoemd naar Jacques Binet. Het is gerelateerd aan de gammafunctie van Euler.

Er is ook een versie van de incomplete beta functie incomplete beta functie en een gecorrigeerde versie ervan, de onvolledige beta functie gecorrigeerd.

Properties

In de vorm van integrale definitie variabele verandering u = 1 - t zien dat deze symmetrisch is, dat wil zeggen:

Het kan ook vol vormen aannemen

Het voldoet aan de functionele vergelijkingen zoals:

Het is gerelateerd aan de gammafunctie van de volgende vergelijking:

Demonstratie

Ofwel de substitutie, de Jacobiaan is absoluut. Ja, door de Fubini stelling,

Als x en y positieve gehele getallen, kan deze vergelijking worden herschreven in termen van de factor of binomiaalcoefficient:

Als x en y niet rationeel en x of y of x + y geen integers, dan B een transcendente getal.

Afleidingsmanoeuvre

We hebben:

waar is de digamma functie.

Onvolledige beta functie

Onvolledige beta functie wordt gedefinieerd door:

en controles:

Voor x = 1 komt dit overeen met de beta functie van de parameters a en b.

Geregulariseerd incomplete beta functie is om de onvolledige bèta-functie te delen door volledige beta functie

Eerdere relaties worden goed

De tweede afleidt de volgende link met de binomiale expansie en de binomiale verdeling: