Berken en Swinnerton-Dyer gissingen

In de wiskunde, het vermoeden Berk en Swinnerton-Dyer voorspelt dat voor elke elliptische kromme op het gebied van rationele, annulering van orde 1 van de bijbehorende functie L is gelijk aan de rang van de curve. Het voorspelt ook de waarde van de eerste niet-nul term in de Taylor-expansie in een van de functie L.

Open meer dan veertig jaar, werd het vermoeden aangetoond alleen in speciale gevallen. Algemeen erkend als een van de moeilijkste problemen wiskundige en diepste nog open begin eenentwintigste eeuw, is een van de zeven Millennium Prize problemen.

Verband

In 1922, Louis Mordell bleek Mordell de stelling: de Abelse groep van rationele punten van elke elliptische curve gedefinieerd op het gebied van rationele is eindig. Het is isomorf met het product van een eindig aantal cyclische groepen: × × ... x Z, waarbij k en r twee negatieve gehele getallen en ai zijn positieve gehele getallen.

Het gehele getal r, genaamd de rangschikking van de curve, is een belangrijke invariant van de elliptische curve. Het is nul als en alleen als de groep eindig.

Hoewel Mordell stelling laat zien dat deze plek is altijd eindig is, is het niet effectieve methode om de rang van elke curve te berekenen geven. De rang van een aantal elliptische krommen kan worden berekend met numerieke methoden, maar ze kunnen niet worden gegeneraliseerd voor alle bochten.

Een functie L, L, kan voor elke elliptische curve E worden gedefinieerd door het construeren van een Euler product van het aantal punten op de curve modulo elk priemgetal p. Deze functie is vergelijkbaar met de L zetafunctie Riemann en Dirichlet L sets die zijn gedefinieerd voor een kwadratische vorm in twee variabelen. Dit is een speciaal geval van een functie L Hasse-Weil.

Natuurlijke definitie van L convergeert slechts waarden van s in het complexe vlak zodanig dat Re & gt; 3/2. Helmut Hasse conjectured dat L door analytische voortzetting kan worden uitgebreid tot het gehele complexe vlak. Dit vermoeden werd voor het eerst aangetoond door Max Deuring voor elliptische krommen met complexe vermenigvuldiging. In het algemene geval is het resultaat van de modulariteit stelling, hetwelk elke elliptische kromme modulair, dat wil zeggen de functie de functie L L gekoppeld aan een modulair.

Vind rationele punten op een algemeen elliptische curve is een moeilijk probleem. Vind de punten op een elliptische curve modulo een bepaald priemgetal p is conceptueel wonen, want er is een beperkt aantal gevallen te controleren. Voor grote priemgetallen, vereist intensieve berekeningen.

Geschiedenis

In de vroege jaren 1960, Bryan Berk en Swinnerton-Dyer Peter gebruikte de EDSAC computer naar het computerlokaal van de Universiteit van Cambridge om het aantal punten modulo p veel priemgetallen p op elliptische krommen waarvan berekenen rang bekend was. Uit deze numerieke resultaten, émirent ze vermoeden dat NP voor een rang van E r curve volgt de asymptotische verdeling

voor sommige constante C

Aanvankelijk dit was gebaseerd op de fijne kneepjes van een trend grafiek, die enige scepsis in de supervisor Birch, JWS Cassels veroorzaakte.

Dit leidde ze een schatting over het gedrag van de functie van een elliptische curve L L s = 1 te maken, dus zou nul orde r op dit punt. Het was bijzonder dramatisch vermoeden omdat op dat moment de analytische voortzetting van L op het punt s = 1 is slechts vastgesteld voor bochten met complexe vermenigvuldiging.

Een nauwkeuriger versie van het vermoeden werd vervolgens voorgesteld, waarin de belangrijkste Taylor coëfficiënt van de functie Ls = 1 als functie rekenkundige curve invariants bestudeerd door Cassels, Tate, Shafarevich en anderen.

Voorbeeld

Overweeg een nul veelterm in twee variabelen, waarvan de coëfficiënten zijn rationale getallen. Stel dat de curve bijbehorende projectieve vlak heeft geen singulariteiten. Laten we eens kijken naar de oplossingen van de vergelijking in rationale getallen. Vervolgens:

  • Indien de mate van f gelijk aan 1 of 2, of de set leeg is of het is oneindig, waarbij de geassocieerde projectieve curve isomorf is een projectieve lijn.
  • Indien de mate van f is groter dan of gelijk aan 4, wordt dit samenstel voltooid na Faltings stelling.
  • Indien de mate van f is gelijk aan 3, alle gevallen mogelijk. Als deze set niet leeg is, de bijbehorende projectieve curve is een elliptische curve. Het vermoeden Birch en Swinnerton-Dyer voorspeld dan de "grootte" van alle oplossingen op basis van de meromorphic voortzetting van een generator reeks gevormd uit het aantal oplossingen van f = 0 modulo p een priemgetal p. In het bijzonder voorspelt of deze set is eindig of oneindig.

Huidige status

Het vermoeden Birch en Swinnerton-Dyer is alleen aangetoond in de volgende gevallen:

  • In 1976, Coates en John Andrew Wiles aangetoond dat als E is een curve op een F-nummer veld met complexe vermenigvuldiging met een K imaginair kwadratisch gebied van aantal klassen 1, F = K of Q, en als L is niet 0 dan E heeft slechts een eindig aantal rationele punten. Dit werd verlengd door Nicole l'Artaud als F is een eindige abelse uitbreiding van K.
  • In 1983, Benedict Gross en Don Zagier hebben aangetoond dat als een modulair elliptische curve nul orde van 1 s = 1 dan een rationeel van oneindige orde.
  • In 1990 toonde Victor Kolyvagin dat een modulair elliptische kromme E waarvoor L niet nul is van rang 0, en een modulaire elliptische kromme E waarvoor L heeft een zero-order 1 s = 1 heeft rang 1.
  • In 2001, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, en Richard Taylor, de uitbreiding van het werk van Andrew Wiles, aangetoond dat alle elliptische krommen over Q zijn modulair, wat de vorige twee resultaten om alle elliptische krommen over Q. strekt
  • In 2010, Manjul Bhargava en Arul Shankar aangekondigd bewijs dat de gemiddelde rang van de Mordell-Weil groep van een elliptische curve over Q wordt verhoogd met 7/6. Dit te combineren met bewijs kondigde de belangrijkste vermoeden van Iwasawa theorie voor GL Chris Skinner en Eric Urban, zij concluderen dat een niet-nul aandeel van elliptische krommen over Q zijn geen analytische rang.

Niets is bewezen voor curves van rank groter dan 1, hoewel berekeningen suggereren dat het vermoeden klopt.

Het vermoeden Birch en Swinnerton-Dyer is één van de zeven Millennium Prize problemen geïdentificeerd en de prijzen in 2000 door het Clay Mathematics Institute.