Begrensd deel van een topologische vectorruimte

In de functionele analyse en aanverwante gebieden van de wiskunde, een deelverzameling van een topologische vectorruimte heet begrensd als elke buurt van nul vector kan worden uitgebreid tot dit deel bevatten. Dit concept werd geïntroduceerd door John von Neumann en Andrey Kolmogorov in 1935.

De beschreven onderdelen zijn een natuurlijke manier om de polaire topologieën op de vector ruimten van een dubbel paar definiëren.

Definitie

Deel B van een topologische vectorruimte E wordt gezegd dat begrensd als voor elke omgeving V nul vector, is een scalair α zodanig dat B is in het stel, aangeduid av, vectoren van de vorm ax met x in V .

Voorbeelden en tegen-voorbeelden

  • Elke eindige verzameling is begrensd.
  • De voorwaarden van een cauchyrij vormen een begrensde set, maar niet die van een veralgemeende cauchyrij.
  • Elk deel van een relatief compacte e.v.t. wordt begrensd. Als de ruimte heeft een lage polaire topologie, het omgekeerde is waar.
  • Een subruimte van een nul e.v.t. Aparte nooit begrensd.

Properties

  • Als de basis topologische veld is discreet en niet gewaardeerd, wordt deel B van E begrensd als en slechts als:
  • Als e.v.t. E plaatselijk convex, dat wil zeggen als de topologie wordt gedefinieerd door een i ∈ familie seminorms, deel B E is beperkt in de zin bovenstaande indien en wanneer is gebonden aan elke pi, dat is, -dire als om welke index i, is er een echte Mi als In het bijzonder als E is een genormeerde vectorruimte, is B begrensd op bovenstaande zin als en alleen als het wordt begrensd aan de norm.
  • Een deel van een pre-compact e.v.t. apart wordt begrensd.
  • De hechting van een begrensde set is begrensd.
  • In een lokaal convexe ruimte, wordt de bolle romp van een begrensde set begrensd.
  • Alle homothetische, vertaald, eindige vakbonden en eindige sommen delen beschreven worden begrensd.
  • Indien een lineaire operator continu dan wordt begrensd, dat wil zeggen, hij stuurt elk begrensde deel een begrensde set. Het omgekeerde is waar als het starten van de ruimte is pseudo-metrizable.
  • Een lokaal convexe ruimte is semi-normable als en alleen als het wordt lokaal begrensd, dat wil zeggen als het een begrensde buurt van 0.
  • Alle polaire deel van een begrensde absoluut convexe en absorberend.

Bornologische ruimte

Definitie

Een lokaal convexe ruimte E op het gebied van reële of complexe wordt gezegd bornologische eventuele evenwichtige convexe M E die begrensde deelverzamelingen B van E absorbeert is een wijk van 0 in E.

Properties

  • Een inductieve limiet van ruimtes is een bornologische bornologiques ruimte.
  • Een quotiënt ruimte van een ruimte bornologische bornologische.
  • Een semi-genormeerde vectorruimte is bornologische.
  • Een metrizable lokaal convexe ruimte bornologische.
  • Een semi-volledige ruimte bornologische inductieve limiet van Banach ruimten. In het bijzonder, een Frechet ruimte is inductief limiet van Banach ruimten.
  • Een product van telbare ruimtes is bornologische bornologiques.
  • De sterke dubbele van een reflexieve Frechet ruimte bornologische.
  • De sterke dubbele van een bornologische ruimte is voltooid.
  • Een lokaal convexe ruimte E is bornologische IFF alle lineaire begrensd exploitant van E naar een ander lokaal convexe ruimte continu is.
  • Elke continue lineaire operator achtereenvolgens bornologische een ruimte in een ander lokaal convexe ruimte is begrensd.

Voorbeelden

  • De Schwartz ruimte S van de dalende functies ℝ is een Fréchet ruimte, dus bornologische.
  • Ω is een niet-vacuüm ℝ openen of, algemener, een eindig dimensionale differentiële manifold paracompacte en ℰ de ruimte oneindig differentiable functies Ω. Deze ruimte is bornologische, omdat het een Fréchet ruimte.
  • Ω is zoals hierboven en de ruimte oneindig differentieerbare functies compact steun in Ω, voorzien van de gebruikelijke strenge inductieve grens topologie van een reeks Fréchet ruimten. Deze ruimte is bornologische.
  • Zij K een compacte deelverzameling ℂ ruimte en kiemen van analytische functies in een open omgeving van K. Deze ruimte is bornologische omdat het een inductief maximaal aantal Frechet ruimten.

Ultrabornological ruimte

Definitie

Een gescheiden lokaal convexe ruimte E op het gebied van onroerend of complex is ultrabornological gezegd als een convexe deelverzameling van E, die de convexe delen, evenwichtige absorbeert, begrensd en semi-vol E is een wijk van 0 in E.

Properties

Een ruimte is bornologische ultrabornological en loop.

Bornologische ruimte en een semi-compleet is ultrabornological. In het bijzonder, een Frechet ruimte ultrabornological.

Voor een gescheiden lokaal convexe ruimte ultrabornological als en slechts als het inductieve limiet van een familie van Banach ruimten. Daarom is de inductieve grenzen van een familie van afzonderlijke ruimten is ultrabornological ultrabornologiques.

Generalisatie

Wanneer M een topologische module op een topologische ring R wordt een deel B van M gezegd wordt begrensd als voor elke buurt van de nul-vector V M, is een scalaire w nabijheid van nul R als wB worden opgenomen in V.