B-differentieerbare functie

In wiskundige analyse, de B-differentieerbaarheid is een concept van différentiabiité lager dan Fréchet afgeleide waarin de exploitant niet verplicht is recht en smal, maar alleen positief homogeen en begrensd zijn. De letter B verwijst naar Bouligand. Deze aanzienlijke verzwakking van de definitie, maakt het echter mogelijk de belangrijkste eigenschappen behouden als de B-keten en differentieerbaarheid in de formule van eindige stappen. Unlike Fréchet differentieerbaar is de B-differentieerbaarheid niet vernietigd door het nemen van het minimum of maximum van een eindig aantal functies, wat een voordeel in bepaalde omstandigheden.

Dit begrip wordt bijvoorbeeld gebruikt om de convergentie eigenschappen te definiëren en te interpreteren nul zoekalgoritmen niet differentieerbare functies in een klassieke zin en demonstreren. Dit geldt voor sommige Newtoniaanse beperkt optimalisatie algoritmes en complementariteit.

Definitie

Laten en worden twee genormeerde ruimten, waarvan de normen zijn beide genoteerd.

B-differentieerbare functie wordt gezegd dat een B-differentieerbaar, als er een positief homogeen en begrensde operator, zoals

De operator wordt genoemd-B afgeleid.

Wordt gezegd dat het B-differentieerbaar op een open als B is differentieerbaar op elk punt.

Deze definitie vereist enige verduidelijking en opmerkingen.

  • De notie van B-differentieerbaarheid werd geïntroduceerd door Robinson. De letter B verwijst naar Georges Bouligand.
  • We zeggen dat een functie is positief als homogeen, ongeacht de werkelijke was. Zo duidelijk.
  • Een positief homogene operator is begrensd als haar zei standaard, hieronder gedefinieerd, is voorbij:


    Wat de lineaire operatoren, is gelijk aan dat continu nul.
  • Werd opgemerkt in de waarde.
  • We zeggen dat een functie is een klein o nul en schrijft het als

Voorbeelden

  • Minimale functie component per component


    is overal differentieerbaar en B-B-derivaat wordt gegeven door


    Het was een vergelijkbaar resultaat van de functie.
  • Als stellen we twee functies en B-differentieerbaar een functie wordt verkregen


    die B-differentieerbaar en waarvan B-derivaat wordt gegeven door


    Het was een vergelijkbaar resultaat van de functie.

Properties

Onmiddellijke Properties

  • Als B-differentieerbaar, zijn B-derivaat is uniek.
  • Alle B-differentieerbare functies is een vector ruimte en was

Links naar andere concepten van differentieerbaarheid

Banden met het gevoel van Fréchet differentieerbaarheid zijn duidelijk. Hieronder is het derivaat in de zin van Fréchet.

Links met Fréchet differentieerbaarheid

  • Als is Fréchet differentieerbaar is dan B-differentieerbaar en.
  • Als B-differentieerbaar en als lineair is, dan is Frechet differentieerbaar en.

Hier zijn enkele links met de richtingstoetsen differentieerbaarheid. We merken het richtingsafgeleide in de richting. Als dat een B-differentieerbare functie geeft richtingsafgeleide blijkt, wederzijds voor lokaal lipschiziennes functies minder; Dit is het gevolg van Shapiro.

Banden met de richtingstoetsen differentieerbaarheid zoals gedefinieerd in Dini

  • Als is B-differentieerbaar, geeft vervolgens directionele derivaten langs elke richting.
  • Als is Lipschitz in een buurt en als toegeeft directionele derivaten door het volgen van een willekeurige richting, dan is het B-differentieerbaar.

Kortom, voor het lokaal Lipschitz functies, het begrip B-differentieerbaarheid is gelijk aan de richting differentieerbaarheid.

Regelmatigheid van B-afgeleide

De mogelijke lokale lipschitzianité te zenden om zijn B-afgeleide.

Lipschitzianité B-Si wordt verkregen Lipschitz module in een nabijheid van en B-differentieerbaar, dan Lipschitz module.

Maar in het algemeen, niet Lipschitz in wijk, of zelfs continu. Als bijvoorbeeld wordt bepaald door

We hebben zodat deze niet voor.

B-ketenvertakking

Het succes van de B-afgeleide danken aan zijn stabiliteit met betrekking tot de samenstelling van functies.

B-differentieerbaarheid Laat een compositie, en drie genormeerde ruimten. Indien

  • is B-differentieerbaar,
  • is B-differentieerbaar en Lipschitz in een wijk,

dan is de samengestelde functie is differentieerbaar bij B-and-B verschil wordt gegeven door

Eindige stappen formule

Het volgende resultaat is het gevolg van Pang.

Als eindige stappen formule

  • En
  • is Lipschitz in een buurt van B-differentieerbaar en,
  • is positief homogeen van graad 1 en begrensde,

dan

Nemen, krijgen we de formule van eindige stappen

Aanhoudend sterke B-différentiabilités

Definities

Hier zijn de definities van voortdurende en sterke B-différentiabilités.

Blijven B-differentieerbaarheid wordt gezegd dat differentiable-B continu zijn als B-differentieerbaar in een wijk en indien deze toepassing is continu in genormeerde vectorruimte positief homogeen van graad 1 begrensd exploitanten.

Wordt gezegd dat continu differentieerbaar op een B-party of het B-continu differentieerbaar in alle opzichten te zijn.

Sterke B-differentieerbaarheid wordt gezegd sterk B-differentieerbaar te zijn als het differentieerbaar bij B-en als

Denk aan de soortgelijke definitie van sterke Frechet differentieerbaarheid.

Sterke Fréchet differentieerbaarheid wordt gezegd sterk Fréchet differentieerbaar te zijn als het Frechet differentieerbaar en als

Dit laatste begrip sterke Frechet differentieerbaarheid op een punt niet uitgezonden: in het bijzonder kan een functie die B-differentieerbaar sterk Fréchet differentiable bij een brug, maar niet willekeurig dicht bij de punten te hebben.

Properties

De begrippen sterke B-differentieerbaarheid en hoge Fréchet differentieerbaarheid gelijkwaardig zijn in de werkelijkheid.

Gelijkwaardigheid tussen hoge B-differentieerbaarheid en sterke Fréchet differentieerbaarheid Een functie is sterk B-differentieerbaar als, en alleen als, is het sterk Fréchet differentieerbaar.

Als is B-differentieerbaar in een buurt van dit concept is heel dicht bij de continue B-differentieerbaarheid.

Aanhoudend sterke differentieerbaarheid B-B-Si is differentieerbaar in een buurt, dan is de volgende gelijkwaardig zijn:

  • is sterk B-differentieerbaar,
  • is Lipschitz in een buurt en continu is.