3-manifold

In de wiskunde, een 3-spruitstuk is een 3-spruitstuk in de zin van topologische, PL of differentiële rassen.

Sommige verschijnselen zijn specifiek gerelateerd aan de dimensie 3, zodat in deze dimensie, specifieke technieken de overhand, dat wil niet generaliseren naar hogere dimensies. Deze specificiteit van 3-variëteiten heeft geleid tot de ontdekking van hun nauwe relatie met meerdere gebieden, zoals knoop theorie, geometrische groep theorie, hyperbolische meetkunde, getaltheorie, de theorie van Teichmüller, quantumveldentheorie topologische, ijktheorieën, Floer homologie en partiële differentiaalvergelijkingen.

3-varianten theorie bevindt zich in de lage-dimensionale topologie en daarmee de geometrische topologie.

Een kerngedachte van deze theorie is een 3-verdeelstuk M bestuderen door overwegen specifieke oppervlakken ondergedompeld in het oppervlak M. Select "goed geplaatst" in de 3-verdeelstuk leidt tot het idee van onsamendrukbare oppervlak en de theorie van rassen Haken; de verandering, zoals de aanvullende stukken zijn de meer "aangenaam" mogelijk leidt tot de afbraak van Heegard bruikbaar, zelfs in het geval van niet-Haken.

De 3-varianten hebben vaak extra structuur: één van de acht Thurston geometrieën. Het gecombineerde gebruik van deze geometrie en duiken oppervlakken is vruchtbaar gebleken.

De hoeksteen van een 3-verdeelstuk geeft veel informatie over de geometrie en de topologie, waarbij de wisselwerking tussen theorie topologische groepen en werkwijzen.

Belangrijke voorbeelden van 3-variëteiten

  • 3-dimensionale Euclidische ruimte
  • 3-sfeer S
  • Speciale orthogonale groep SO
  • Tore T
  • Hyperbolische ruimte H
  • Poincaré homologie bol
  • Seifert-Weber omgeving
  • Verscheidenheid van Gieseking

Enkele belangrijke klassen van 3-variëteiten

  • Graphées variëteiten
  • Aanvulling van knopen of interlacing hyperbolische (acht knoop, interlacing Whitehead, borromeaanse ringen ...)
  • Variëteiten Haken
  • Homologie 3-sferen
  • Hyperbolische 3-variëteiten
  • Bundels oppervlakken op de cirkel, vooral kernen van homeomorfismen van de torus T
  • Bundels intervallen of cirkels op een oppervlak
  • Variëteiten Seifert
  • 3-spruitstukken voorzien van een contact structuur

Kritieke Bevindingen

Sommige van deze stellingen hebben hun historische namen gissingen behouden.

Begin met de zuiver topologische resultaten:

  • Moise stelling - elke 3-spruitstuk heeft een triangulatie, uniek voor subdivison buurt van de stad.
    • Uitvloeisel - Elke compacte 3-spruitstuk heeft een decompositie Heegard.
  • Milnor decompositie theorema
  • Lemma eindigheid Kneser-Haken
  • Stellingen van de lus en de sfeer van Papakyriakopoulos
  • Stellingen van de kroon en de torus
  • Ontleding ring Jaco -Shalen en Johannson
  • Scott Stelling van de compacte hart
  • Stelling Lickorish-Wallace
  • Stellingen van topologische stijfheid van Waldhausen

Stellingen van geometrie die een belangrijke rol speelt in het bewijs:

  • Smith vermoeden, dat voor alle diffeomorfisme S van eindige orde, de kring van vaste punten is niet vastgesteld.
  • Stelling cyclische chirurgie

Resultaten die expliciet betrekking hebben geometrie en topologie:

  • Thurston stelling van hyperbolische Dehn chirurgie
  • Stelling -Thurston Jørgensen, dat de bestelling op de set van eindige volume hyperbolische 3-variëteiten, is van het type
  • Thurston geometrization gissingen
  • Poincaré gissingen
  • Marden gissingen of stelling geometrisch verstandig tips
  • Stelling terminal lamellen